Cómo resolver esta EDP con el método de las características

Question

La EDP es la siguiente :

$$(xy)u_x+(2xy)u_y=(x+y)u$$

La verdad es que no he entendido muy bien el método y parece que se utiliza de diferentes maneras y eso me confunde (en algunas soluciones veo que se hacen parametrizaciones). He conseguido aplicarlo en algunos problemas utilizando las siguientes ecuaciones características, que en este problema se escriben así :

$$\frac{dx}{xy}=\frac{dy}{2xy}=\frac{du}{(x+y)u}$$

De la primera igualdad obtenemos:

$$\frac{dy}{dx}=2$$ $$=>y=2x+C_1=>C_1=y-2x$$

También podemos conseguir esto:

$$\frac{du}{dx}=\frac{(x+y)u}{xy}=(1/y+1/x)u$$ Integrando consigo algo extraño (por lo que he visto al menos).

$$ln|u|=x/y+ln|x|+C_2$$

¿Estoy en el camino correcto? ¿Puedo utilizar mis ecuaciones iniciales para obtener una mejor relación para C2? ¿Anulando (x+y) quizás?

Answer 1

Debo aclarar que tampoco soy un experto en el método, pero puedo decirte lo que salió mal.

Su primera parte hasta $c_1 = y-2x$ es correcto

Para la segunda integral, se tiene $dy=2dx$ Por lo tanto

$$ \frac{du}{u} = \left(\frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right)dx = \frac{1}{2y}dy + \frac{1}{x}dx $$

Integrando lo anterior

$$ \ln |u| = \frac12 \ln |y| + \ln|x| + c_2 $$

Tomando el exponencial

$$ |u| = e^{c_2}|x|\sqrt{|y|} \implies u = \pm e^{c_2}x\sqrt{|y|} = Cx\sqrt{|y|} $$

El último paso es tomar $C = f(c_1)$ para que

$$ u = x\sqrt{y} f(y-2x) $$

Por lo general, se puede dejar el valor absoluto en $|y|$ por conveniencia, a menos que se dé una condición de contorno.