Demostrando que si $f$ no es una función continua, entonces $\ker f$ es denso

Question

En el contexto de un primer curso de análisis funcional he visto el siguiente ejercicio:

Dejemos que $X$ sea un espacio normado y $0\neq f$ un funcional. Demostrar que si $f$ no es continua, entonces $\ker f$ es denso.

He visto una solución de otro estudiante que comienza con:

$f$ no es continua. El conjunto $$ \{|f(x)|\,,x\in X\text{ and }\|x\| =1\} $$

no está acotado por arriba.

¿Puede alguien explicar cómo se ha llegado a esta conclusión?

Si no fuera por la condición $\|x\|=1$ Podría haber tomado un gran escalar $\alpha$ para conseguir un gran $|f(x)|$ pero con esta condición No tengo una idea de por qué esto es cierto.

Alternativamente, también me gustaría conocer una solución con un enfoque diferente.

Answer 1

La cuestión es que, en general, para un lineal mapa $T \colon X \to Y$ entre espacios vectoriales normados (i) $T$ al ser continua es equivalente a (ii) $\{\|Tx\| \mid \|x\| = 1\}$ que está limitado.

Para ver esto nota: Si (ii) se mantiene, tenemos para $x,y \in X$ con $C$ siendo cualquier límite superior para el conjunto en (ii) : $$ \|Tx - Ty\| \le C \|x-y\|$$ así que $T$ es (Lipschitz) continua.

Por otro lado, si (i) se mantiene, $T$ es continua en $0$ , por lo que hay $\delta > 0$ tal que $\|x\|\le \delta$ implica $\|Tx\| \le 1$ dado cualquier $x \in X$ con $\|x\| = 1$ tenemos $$ \|T(\delta x)\| \le 1 \iff \|Tx \| \le \frac 1\delta, $$ así que $\delta^{-1}$ es un límite superior.