¿Cómo se escribe correctamente la ecuación de una onda?

Question

A continuación se presenta el planteamiento del problema:

Una onda transversal viaja a lo largo de la línea con una velocidad $20 \mathrm{m/s}$ . Dos puntos que se encuentran en la distancia $12\mathrm{meters}$ y $15\mathrm{meters}$ de la fuente de oscilaciones oscilan armónicamente con las amplitudes $0.1\mathrm{meters}$ y la diferencia de fase es $135^\circ$ . Escribe la ecuación de onda.

Ahora bien, esta es la única información dada (no hay ninguna imagen ni nada en el problema), y el problema también preguntaba por otras cosas como encontrar la longitud de onda, etc. que no son el problema aquí. La cuestión es cómo escribir la ecuación en primer lugar. En primer lugar, sé que la ecuación para el desplazamiento de esta línea va a ser algo así: $$x(t)=\text{Amplitude}\cdot \text{trigonometric function}(wt+\phi)$$

Pero mi pregunta es:

1. ¿Importa la función trigonométrica que utilice para ello? Si es así, ¿por qué importa, y si no, por qué no importa?

2. He buscado sobre la diferencia de fase ( $\phi$ ), y en muchos lugares se dice que, el valor de la diferencia de fase en la ecuación representa cuánto se desplaza la onda desde el punto de referencia. Entonces, en este ejemplo, ¿puedo tomar uno de los puntos de oscilación (Por ejemplo, el que está $12\mathrm{meters}$ de la fuente) como punto de referencia y escribir su ecuación con la condición $\phi = 0$ y para la otra escribe la ecuación con la condición $\phi = 135^\circ$ ?

Answer 1

Para responder a su primera pregunta, $cos$ y $sin$ son la misma función pero desplazada por $\frac{\pi}{2}$ (el coseno está desplazado a la izquierda respecto al seno) $$cos(x-\frac{\pi}{2}) = sin(x)$$

Antes de responder a tu segunda pregunta, recuerda que una función de onda es una función de tiempo y posición. No la posición en función del tiempo. Se ve así: $$ \Psi (x,t) = A*cos(\omega t - k x + \phi) = A * cos(\Phi) $$ donde $\Psi$ es el desplazamiento desde el equilibrio (donde un punto $x$ sería si no hubiera ola) y $\Phi$ es la fase ( $\phi$ es un fase global ).

Así, la diferencia de fase entre los 2 puntos sería $\Delta\Phi = (\omega t - k*12m + \phi) - (\omega t - k*15m + \phi) = k*3m$

La diferencia de fase es lo que importa. $\phi$ se cancela ya que todos los puntos tienen el mismo fase global . La fase global sólo desplaza el origen (del tiempo o del espacio). Como has dicho, puedes tomar como origen del espacio el punto que está a 12 metros de la fuente, no importará porque la diferencia de fase sigue siendo $k*3m$ .

Observación: $\omega t$ , $k x$ y $\phi$ están en radianes (no en grados como has dicho).