En un anillo conmutativo $R$ , $I+J =R$ por cada $J$ ¿puedo concluir que existe un $t$ en $I$ para lo cual $I=Rt$ ?

Question

En un anillo conmutativo con unidad $R$ si existe un ideal $I$ para lo cual $I+J=R$ para todo ideal no nulo $J$ y $I$ no es igual a $J$ . Entonces sé $I$ debe ser máxima, pero puedo concluir $I=Rt$ para un $t$ contenida en $I$ ?

Answer 1

Toma $t \in I$ , $t \neq 0$ (si tal $t$ no existe, entonces $I = \{0\} = R \cdot 0$ ). Usted tiene $I = Rt$ (entonces has terminado) o tienes $I \neq Rt$ , en cuyo caso se obtiene $I = I + Rt = R = R\cdot 1$ .