La clasificación de las estructuras trianguladas en un gradual de la categoría

Question

Sé de varios resultados para el efecto de que dos de los nidos categorías son categorías equivalentes (generalmente procedente de álgebra y otro que viene de la topología). Sin embargo, nunca ha estado claro para mí cómo clasificar los posibles diferentes estructuras trianguladas el levantamiento de un "gradual" de la categoría (categoría enriquecido en diferentes abelian grupos).

Por ejemplo, ¿cuántas diferentes estructuras trianguladas puede no ser con la que subyace a la categoría de la que se derivan categoría de Z-módulos? Todos los objetos de esta categoría son equivalentes para dirigir sumas de Z-módulos concentrado en diferentes grados.

Como otro ejemplo, tenemos la categoría de "Z/2-graduada de abelian grupos", que es equivalente a la derivada de la categoría de diferencial graduada de los módulos a través de un polinomio de Laurent anillo en un generador en el grado 2. Hay otra, equivalente a futuro, homotopy categoría de los módulos a través de los periódicos complejo K-teoría del espectro de KU. Estos han subyacente equivalente categorías, pero nunca he sido claro sobre si los nidos de las estructuras son las mismas.

Answer 1

En general se habla de una única elevación no existe y creo que es abierta en cuanto a lo de la posible elevaciones pueden ser.

Como un ejemplo de la no unicidad considerar una ligera variante de la categoría concreta a su pregunta - es decir $K^b(\mathbb{Z})$ el homotopy categoría de limitada complejos de finitely generado abelian grupos. Considerando esto como una graduada de la categoría a la que tiene al menos 2 diferentes estructuras trianguladas categoría. La costumbre de uno y uno se denota $K^b(\mathbb{Z})^{-}$ donde podemos declarar que
$$X \stackrel{u}{\to} V \stackrel{v}{\to} Y \stackrel{w}{\to} \Sigma X$$ es un triángulo si y sólo si
$$X \stackrel{-u}{\to} V \stackrel{-v}{\to} Y \stackrel{-w}{\to} \Sigma X$$ es un triángulo con respecto a la costumbre de la triangulación. El punto que estaba implícito (antes de esta edición) es que estas triangulaciones no está de acuerdo. Esto también funciona para $D^b(\mathbb{Z})$, la limitada derivada de la categoría de finitely generado abelian grupos, de hecho, uno sólo necesita supongamos que las dos categorías de acuerdo y considerar [TR3] que se aplica a un diagrama obtenido mediante la asignación de $$\mathbb{Z} \stackrel{3}{\to} \mathbb{Z} \to K(3) \to \Sigma \mathbb{Z}$$ a $$\mathbb{Z} \stackrel{-3}{\to} \mathbb{Z} \to K(3) \to \Sigma \mathbb{Z}$$ por $(1,-1,h,1)$ donde $h$ es algún mapa proporcionado por [TR3] pero uno puede comprobar esto es ridículo.

Si desea más elevadores de la suspensión de la categoría con la costumbre de la suspensión a un triangular categoría siento que la respuesta debe ser que no hay ninguna, pero no sé una prueba o, si esto no se escribe si es verdadero. Creo que sé cómo hacer algunos avances en el problema más general, si uno rigidifies la situación un poco, pero esto es todavía un trabajo en progreso.

Más generalmente, uno puede jugar a este juego con cualquier unidad en el grado cero de la parte del anillo central de nuestro suspendido categoría (en otras palabras se puede torcer por automorfismos de la identidad functor los desplazamientos con la suspensión). En esta nota de Balmer muestra que esto conduce a la suspensión de las categorías con infinidad de triangulaciones. Creo que no se sabe si puede haber otros tipos de triangulaciones al menos en un indecomposable categoría.

Yo actualmente no puedo pensar en ninguna ejemplos que surgen de manera natural y no estoy lo suficientemente familiarizado con la que mencionar a ser capaz de decir en este momento si o no las triangulaciones de acuerdo. Si las suspensiones están de acuerdo, entonces me imagino que son equivalentes a algo más de la forma anterior. Me interesaría saber si ellos no lo eran.

Actualización Aquí es el tipo de cosa que ahora tengo en mente para el delimitada derivado de la categoría de finitely generado abelian grupos. Como una advertencia de que realmente no he pensado demasiado bien.

La declaración creo que uno debe ser después de que no importa la triangulación no hay ninguna opción que participan en el isomorfismo de la clase de los conos - más precisamente, si uno se da $f\colon X\to Y$ $\mathrm{cone}(f)$ es de hasta isomorfismo independiente de la triangulación. Se debe seguir a partir de esto que el signo truco que le da la segunda triangulación es todo el espacio de maniobra que uno tiene.

Denotar por $\#X$ el entero no negativo,$\lvert \{i\in \mathbb{Z} \;\vert\; H^i(X)\neq 0\} \rvert$, e intente ejecutar una inducción sobre esta cantidad. Si $X$ es la suspensión de un grupo y se nos da $f\colon X\to Y$ podemos desuspend y se supone que es en grado cero, ya que esto solo tienes que girar el triángulo. Completa $f$ a un triángulo $$ X \stackrel{f}{\to} Y \to Z \to \Sigma X$$ La aplicación de $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z},-)$ da una secuencia exacta de abelian grupos que nos dice que (donde ya no estamos asumiendo que el estándar de la triangulación en el uso de cohomological la notación es un poco abusivo, pero sólo denota la correspondiente pieza clasificada) $H^i(Z) \cong H^i(Y)$$i\leq -2$$i\geq 1$,$H^0(Z) \cong \mathrm{coker} \; H^0(f)$, $H^{-1}(Z)$ es determinado hasta por extensión $$0 \to H^{-1}(Y) \to H^{-1}(Z) \to \mathrm{ker}\;H^0(f) \to 0$$ pero todavía no existe la opción de intervenir aquí, ya que el elemento de $\mathrm{Ext}^1$ dando esta extensión está determinada por el "grado 1 parte" (a lo que me refiero es si $X$ ha torsión se podría asignar a la pieza de $Y$ en grado 1) de $f$ (creo que - esta es la parte en la que no estaba de verificación). Así, el graduado de piezas de $Z$ están decididos a isomorfismo y por lo tanto también lo es $Z$ ya que todo es una suma de sus cohomology.

Ahora bien, si suponemos que tenemos la singularidad de los mapas de chicos con menos de $n$ piezas y deje $\#X = n$ y supongamos que tenemos $f\colon X\to Y$ que completa un triángulo con cono $Z$. Escribir $X$ $X' \oplus X''$ donde $\#X' < n$. El uso de la octaédrico axioma obtenemos un triángulo (en realidad podemos cocinar 4 de esta manera, pero solo necesitamos 1) $$W \to \Sigma^{-1}Z \to X' \to \Sigma W$$ y desde $\#X' < n$ la hipótesis inductiva implica $Z$ está determinada únicamente hasta el isomorfismo.

Me interesaría si alguien tiene alguna idea para un invariante que sería detectar la diferencia entre estos dos triangulaciones en $D^b(\mathbb{Z})$ - que son realmente casi el mismo en cada manera que se me ocurre, salvo que la asignación axioma puede fallar entre los triángulos en cada uno de ellos.

Answer 2

Heller construye un bijection entre (Puppe) triangulaciones en un triangulable categoría C (con turno functor) y ciertos isomorphisms entre cierto cambio functors en el Teorema de 16.4 de "Estable Homotopy Categorías", Bull. Am. De matemáticas. Soc. 74, p. 28-63, 1968. Concluye en el Corolario 16.5 que un subgrupo de la automorphism grupo de la identidad functor de la estable de la categoría de la Freyd categoría de C actúa libremente y transitivamente en el conjunto de las triangulaciones en C (con turno functor).

En el §17, él utiliza esto para mostrar que hay una cantidad no numerable de las triangulaciones en C en el caso de C := estable homotopy categoría de finito de CW-complejos (cf. p. 47, l. 19).

No estoy seguro acerca de su condición adicional ("enriquecido en diferentes abelian grupos"). El cambio functor es el mismo para todas las triangulaciones exhibido por Heller, aunque.

Answer 3

En 2002, Pablo de Balmer escribió una agradable nota de dos páginas responder a la misma pregunta. Se la envió a mí, porque yo tenía la misma pregunta en mi trabajo `La aditividad de las huellas en los nidos de las categorías", donde me había recordado la estándar de hecho (bien conocido en topológico ejemplos desde la década de 1960) que un triangulación por lo general difiere de la de su negativa. Sólo miré, y parece que Pablo nunca publicó su nota. Yo voy sobre todo el uso de su notación.

Fijar una categoría $\mathcal K$, con una triangulación $\mathcal T$ que difiere a partir de su negativa a $-\mathcal T$. Nunca vamos a cambiar la suspensión de $\Sigma$. Su primer ejemplo es trivial. Para cualquier $n\geq 1$, $n$- pliegue $\mathcal{K}^n$ con la obvia la suspensión, al menos, $2^n$ distintas triangulaciones, la elección de $\mathcal T$ o $-\mathcal T$ en cada factor.

Definir un mundial automorphism $\alpha$ $(\mathcal K,\Sigma)$ a ser un automorphism de la identidad functor en $\mathcal K$ que conmuta con $\Sigma$. Está dada por isomorphisms $\alpha\colon A\to A$ para todos los objetos de $A$ $\mathcal K$ tal que $\alpha f = f\alpha$ para todos los mapas de $f\colon A\to B$$\mathcal K$$\Sigma \alpha$$\alpha$$\Sigma A$. El ejemplo más sencillo es tomar el $\mathcal K$ a (cualquier versión) de la derivada de la categoría de un anillo conmutativo $R$ y deje $\alpha(u)\colon A\to A$ ser la multiplicación por una unidad de $u\in R$. Para un global de automorphism $\alpha$$\mathcal K$, definir $\mathcal{T}_{\alpha}$ a ser el la clase de todos los triángulos $(f,g,h)$ tal que $(f\alpha,g,h)$ es un trangle en $\mathcal T$. Entonces $(\mathcal K,\mathcal{T}_{\alpha})$ es un triangula categoría.

Regresar ahora a la deriva categoría $\mathcal K$ de un anillo conmutativo $R$. Deje $u$ ser una unidad de $R$. Supongamos que hay un elemento $r$ tal que $r$ no es un divisor de cero y $1-u\notin rR$. A continuación, las triangulaciones $\mathcal T$ $\mathcal{T}_{\alpha(u)}$ son diferentes. Si tomamos $u=-1$, esto muy a menudo demuestra que $\mathcal T \neq -\mathcal T$. Ahora vamos a $R = k[x]$ ser un polinomio anillo sobre un anillo conmutativo $k$ con infinidad de unidades. considerar las unidades de $u$ otros de $1$ $k\subset R$ y deje $r=x$. Tenemos una la triangulación $\mathcal{T}_{\alpha(u)}$ por cada $u$. Claramente $(\mathcal {T}_{\alpha(u)})_{\alpha(v)} = \mathcal {T}_{\alpha(uv)}$. Por lo tanto, si $\mathcal{T}_{\alpha(u)} = \mathcal{T}_{\alpha(v)}$, a continuación,$\mathcal{T}= \mathcal{T}_{\alpha(u^{-1}v)}$. Por lo tanto, $\mathcal K$ tiene infinitamente muchos distintas triangulaciones.