Sugerencia necesaria para una secuencia decreciente de puntos límite

Question

Estoy tratando de trabajar en el ejercicio 13E, parte (4) del libro de S. Willard Topología a través del autoaprendizaje. Me estoy rascando la cabeza con la siguiente pregunta. He parafraseado de alguna notación anterior en el exericse, que se requiere para entender la pregunta.

Dado un conjunto $A$ , dejemos que $A'$ denotan el conjunto de puntos de acumulación de $A$ . Dejemos que $A^1 = A', A^2 = (A^1)', A^3 = (A^2)'$ y así sucesivamente

Para cualquier número entero positivo $n$ hay un conjunto $A \subseteq \mathbb{R}$ tal que $A,A^1,\ldots,A^{n-1}$ son no vacíos y $A^n = \emptyset$ .

Por supuesto, asumimos $\mathbb{R}$ tiene la topología estándar.

Me estoy rascando la cabeza tratando de construir tal conjunto $A$ . He pensado en tomar la unión de alguna colección de conjuntos, cada uno con una forma similar a $\{ 1/n : n \in \mathbb{N} \}$ y ordenando los puntos límite de los mismos para que vayan cayendo uno a uno mientras sigo encontrando los puntos límite de los puntos límite. Sin embargo, no he encontrado la manera de hacer que esto funcione, y tengo la sensación de que voy en la dirección equivocada.

¿Puede alguien darme una pista o alguna orientación? Me gustaría resolver esto por mí mismo, así que por favor no proporcione una solución (o si lo hace, por favor ocultarlo como un spoiler). Agradezco su ayuda.

Lo mejor, Doug

Answer 1

Aquí está un esquema de lo que necesita para obtener el caso $n=4$ en el plano; se generaliza fácilmente y también se adapta con bastante facilidad a $\Bbb R$ .

$$\begin{array}{rr} \bullet&\bullet&\bullet&\bullet&\longrightarrow&\bullet\\ \uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow\\ \color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet&\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet&\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet&\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet\\ \color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet&\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet&\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet&\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet\\ \color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet&\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet&\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet&\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet\\ \color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet&\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet&\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet&\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet\\ \color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet&\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet&\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet&\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\bullet\color{red}\to\bullet \end{array}$$