Pasar a límite para obtener una identidad (explicar un texto por favor)

Question

Dejemos que $P:H \to K$ sea un mapa no lineal, donde $K$ es un subconjunto convexo cerrado de $H$ que es un espacio de Hilbert. Sabemos que $P$ es Lipschitz con una constante Lipschitz uno.

Dejemos que $S \subset H$ sea un conjunto. Sabemos que para cada $s \in S$ ,

$$P(s+th) -Ps = th$$ es válida, para un número fijo de $h \in H$ Siempre y cuando $t$ es lo suficientemente pequeño (depende de $s$ ).

Dejemos que $\bar S$ denotan el cierre de $S$ . Entonces, aparentemente, debido a la densidad y Lipschitzness de $P$ tenemos que para cada $s \in \bar S$ , $$P(s+th) -Ps = th + o(t)$$ donde $t^{-1}o(t) \to 0$ como $t \to 0$ .

¿Podría alguien decirme cómo se consigue esto, y cómo describir $o(t)$ ¿precisamente?

Este es el lema 1 de la página 620 de este documento https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.jmsj/1240432858 .

Answer 1

Estás leyendo mal el lema. El cierre no es para $S$ pero para el conjunto de direcciones $h\in H$ .

Dado $\varepsilon>0$ para $h\in\overline{H}$ existe $h_{\varepsilon}\in H$ tal que $\Vert h-h_{\varepsilon}\Vert\leq\varepsilon$ . Entonces \begin {align*} \Vert P(s+th)-P(s)-th \Vert & \leq\Vert P(s+th)-P(s+th_{ \varepsilon }) \Vert\\ & + \Vert P(s+th_{ \varepsilon })-P(s)-th_{ \varepsilon } \Vert + \Vert th_{ \varepsilon }- \Vert\\ & \leq\text {Lip }P \Vert s+th-(s+th_{ \varepsilon }) \Vert +0+|t| \Vert h_{ \varepsilon }-h \Vert\\ & \leq\text {Lip }P|t| \Vert h-h_{ \varepsilon } \Vert +0+|t| \Vert h_{ \varepsilon }-h \Vert\leq ( \text {Lip }P+1) \varepsilon |t|, \end {align*} y así $$ \left\Vert \frac{P(s+th)-P(s)}{t}-h\right\Vert \leq(\text{Lip }P+1)\varepsilon , $$ que muestra que $$ \lim_{t\rightarrow0}\frac{P(s+th)-P(s)}{t}-h=0. $$