Quiero demostrar que para los monomios ideales la intersección se distribuye sobre la suma en una expresión básica como ésta: $$I \cap (J+K) = (I \cap J) + (I \cap K).$$
¿Cómo puedo demostrarlo?
Respuesta
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Está claro que $(I \cap J) + (I \cap K) \subseteq I \cap (J+K) $ .
Entonces expreso ideales monomios de la siguiente manera:
$I = \langle \{x^{\alpha}:\alpha \in A\} \rangle$
Entonces se necesitan un par de lemas estándar:
Un polinomio está en un ideal de monomios si y sólo si es una combinación K de monomios en el ideal. Un monomio está en el ideal si y sólo si es divisible por algún generador ( $x^{\beta} = x^{\alpha + \gamma}, \alpha \in A, \gamma \in \mathbb{N}^n$
Por lo tanto, puedo expresar $I = \{\sum k x^{\alpha + \gamma}:\gamma \in \mathbb{N}^n\}$ .
Ahora asumo que tengo un elemento del lado izquierdo de la ecuación de distributividad y obtengo:
$\sum kx^{i+ \gamma} = \sum kx^{j+\gamma}+\sum kx^{k+\gamma}$ donde se puede imaginar que $x^i,x^j,x^k$ son el conjunto de generadores de cada ideal.
Ahora, tomo una $i$ y si existe $j$ tal que $i+\gamma \ge j$ Tengo que este monomio está en $J$ y claramente, estaría en el lado derecho. Hago lo mismo para cada $k$ . Por lo tanto, obtengo la siguiente expresión:
$\sum_{i+\gamma \ge j} kx^{i+\gamma} + \sum_{i+\gamma \ge k} kx^{i+\gamma} + \sum_{i+\gamma < j,k} ?$
Afirmo que el tercer sumando está vacío. Creo que esto es evidente ya que en la ecuación anterior obtendría un término en el lado izquierdo que no está en el lado derecho.
