Representación en serie de $\sin(nu)$ cuando $n$ ¿es un número entero de impar?

Question

Así que, por aburrimiento y curiosidad, hoy se me ha ocurrido una representación de la serie para $\sin(nu)$ cuando $n$ es un número entero par: $$\sin(nu) = \sum_{k=1}^\frac n2 \left(\left(-1\right)^{k-1}\binom{n}{-\left|2k-n\right|+n-1}\sin\left(u\right)^{2k-1}\cos\left(u\right)^{n-2k+1}\right)\;\mathtt {if}\;n\in 2\Bbb Z$$ Estaba trabajando en una representación similar para cuando $n$ es un entero impar, pero tengo algunas dificultades. No parece haber mucho patrón. Si existe, ¿podría alguien indicarme su dirección? Si es imposible, ¿podría proporcionarme la prueba?

Answer 1

Obsérvese que, utilizando la fórmula de Euler, para el $n$ un número entero positivo, $$\begin{align}\sin(nx) &= \frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\\ &=\frac{(\cos{x} + i\sin{x})^n - (\cos{x} - i\sin{x})^n}{2i}\\ &=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}\frac{\cos^k{x}(i\sin{x})^{n-k} - \cos^k{x}(-i\sin{x})^{n-k}}{2i}}\\ &=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}\cos^k{x}\sin^{n-k}{x}\frac{i^{n-k} - (-i)^{n-k}}{2i}}\\ &=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}\cos^k{x}\sin^{n-k}{x}\sin{\frac{1}{2}(n-k)\pi}}\end{align}$$

Me avergüenza confesar descaradamente que esto fue tomado (palabra por palabra) de aquí el primer enlace devuelto mediante la consulta de búsqueda en Google "Fórmula de ángulos múltiples".

Answer 2

Utilizando métodos complejos y el teorema del binomio, $$\eqalign{\sin(nu) &={\rm Im}(\cos u+i\sin u)^n\cr &={\rm Im}\sum_{m=0}^n \binom nm (\cos u)^{n-m}(i\sin u)^m\ .\cr}$$ Como sólo los términos de impar $m$ contribuyen a la parte imaginaria podemos tomar $m=2k-1$ para dar $$\sin(nu)=\sum_{k=1}^{(n+1)/2}(-1)^{k-1}\binom n{2k-1}\cos^{n-2k+1}u\sin^{2k-1}u\ .$$

Answer 3

Existen fórmulas muy bonitas y sencillas que utilizan polinomios de Chebyshev del primer tipo $T_n$ (si $n$ es impar) y del segundo tipo $U_n$ (si $n$ es par) $$sin(nx)=(-1)^{\frac{n-1}{2}} T_n(\sin (x))$$ $$sin(nx)=(-1)^{\frac{n}{2}-1} \cos (x) U_{n-1}(\sin (x))$$