Cualquier función no limitada en un intervalo cerrado es discontinua.

Question

¿Es esto cierto? Creo que debería serlo, teniendo en cuenta $f(x)=\frac{1}{x}$ es discontinua en $\mathbb{R}$ mientras que $g(x)=x$ es continua en $\mathbb{R}$ . ¿Cambiaría la respuesta si cambiáramos el intervalo cerrado por uno abierto? $I$ tal que $\vert I\vert<+\infty$ ?

Answer 1

Sí, es cierto: Una forma de ver esto es demostrar que la imagen continua de un conjunto compacto es compacta, y en particular acotada. Todo intervalo cerrado y acotado es compacto.

Si el intervalo está abierto, la elección $f(x) = \frac 1 x$ en $(0, 1)$ da una función continua no limitada.