Cohomología y clases fundamentales

Question

Sea X una variedad real orientable, compacta y diferenciable. ¿Está la (co)homología de X generada por las clases fundamentales de subvariedades orientadas? Y si no, ¿qué se sabe sobre el subgrupo generado?

Answer 1

René Thom respondió a esto en la sección II de "Algunas propiedades globales de las variedades diferenciables". Cada clase $x$ en $H_r(X; \mathbb Z)$ tiene algún múltiplo integral $nx$ que es la clase fundamental de un submanifold, por lo que la homología está al menos racionalmente generada por estas clases fundamentales.

La sección II.11 resuelve algunos casos específicos: por ejemplo, toda clase de homología de una variedad de dimensión máxima 8 es realizable de esta manera, pero esto no es cierto para las variedades de mayor dimensión y la respuesta en general tiene que ver con las operaciones de Steenrod.

Answer 2

Esto es una respuesta al comentario de Alon, pero es demasiado largo para ser un comentario y probablemente sea lo suficientemente interesante para ser una respuesta.

He aquí un ejemplo que da Thom de una clase de homología que no es realizada por un submanifold: dejemos que $X=S^7/\mathbb Z_3$ con $\mathbb Z_3$ actuando libremente por rotaciones, y $Y=X \times X$ . Entonces $H^1(X;\mathbb Z_3)=H^2(X;\mathbb Z_3)=\mathbb Z_3$ (y están relacionados por un Bockstein); dejemos que $v$ generar $H^1$ y $u=\beta v$ sea el correspondiente generador de $H^2$ . Entonces se puede demostrar que la clase $$u \otimes vu^2 - v \otimes u^3 \in H^7(Y;\mathbb{Z}_3)$$ es realmente integral (es decir, en $H^7(Y;\mathbb{Z})$ ), y su dual de Poincare en $H_7$ no puede ser realizado por un submanifold (de hecho, no puede ser realizado por ningún mapa de un manifold cerrado a $Y$ que no tiene por qué ser la inclusión de un submanifold). Este es un ejemplo natural para considerar porque la primera obstrucción a las clases que se realizan por submanifolds proviene de una operación de Steenrod mod 3, y estos son fáciles de calcular en $Y$ porque $X$ es el esqueleto 7 de un $K(\mathbb Z_3,1)$ . Nótese que la clase en cuestión es de 3 torsiones, por lo que trivialmente se realiza 3 veces por un submanifold.

Answer 3

Según un artículo de Geometría y topología de submanifolds y corrientes editado por Weiping Li y Shinshu Walter Wei

La falta de representantes adecuados en la homología suave por submanifolds fue una "motivación parcial" para que Federer introdujera la homología rectificable definiendo

- los grupos de la cadena como:

$Z_{i}(A,B):=\{T\in R_{m}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{Z}): \partial T\in R_{m-1}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{Z}),spt(T)\subset A$ y $spt(\partial T)\subset B\}$

- los grupos limítrofes como

$B_{i}(A,B):=\{\partial T:T\in Z_{i+1}(A,A)\}$

Y los grupos de homología como siempre por $H_{i}(A,B):=Z_{i}(A,B)/B_{i}(A,B)$

(Aquí, $A$ & $B$ son ambos repliegues de neghbourhood compactos de Lipschitz (de $\mathbb{R}^{n}$ ) y tenemos $B\subset A$ ).

Demostró que satisfacía los axiomas de Eilenberg-Steenrod y, por tanto, es isomorfa a la homología singular; y que cada clase de homología en esta homología contiene un representante rectificable que minimiza la masa. Así pues, deberíamos ver la noción de Federers de corrientes rectificables como una generalización apropiada de submanifoldos que nos permite identificar las clases de homología con submanifolds especiales.