¿Es 1 dividido por 3 igual a 0,333...?

Question

Me han enseñado que $\frac{1}{3}$ es 0.333... . Sin embargo, creo que esto no es cierto, ya que 1/3 no puede representarse realmente en base diez; incluso si tuvieras infinitos treses, como 0.333... no sería exactamente igual a 1/3, ya que 10 no es divisible por 3.

0.333... = 3/10 + 3/100 + 3/1000...

Esto se me ocurrió mientras discutía sobre una de las paradojas de Zenón. Estábamos hablando de una posible solución a la carrera entre Aquiles y la Tortuga, una de las Paradojas de Zenón. La solución establecía que se necesitaría que Aquiles $11\frac{1}{3}$ segundos para pasar la tortuga, ya que 0.111... = 1/9 . Sin embargo, este no es el caso, ya que, no importa cuántos se añadan, 0.111... nunca será exactamente igual a $\frac{1}{9}$ .

¿Podría decirme si esto es válido, y si no, por qué no? Gracias.

No estoy discutiendo que $0.333...$ no es lo más cercano que podemos conseguir en base 10; más bien, estoy argumentando que, en base 10, no podemos representar con precisión $\frac{1}{3}$

Answer 1

He aquí un simple razonamiento que $1/3=0.3333...$ .

Denotemos $0.333333......$ por $x$ . Entonces

$$x=0.33333.....$$ $$10x=3.33333...$$

Restando obtenemos $9x=3$ . Así, $x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ .

Desde $x$ fue elegido como $0.3333....$ significa que $0.3333...=\frac{1}{3}$ .

Answer 2

Puede encontrar la suma de $\frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \cdots$ utilizando la fórmula de la suma de la progresión geométrica infinita.

$$a_1 = \frac{3}{10}$$

$$r=\frac{1}{10}$$

$$\sum =\frac{a_1}{1-r}=\frac{3}{10}\times\frac{10}{9} =\frac{1}{3}$$

Answer 3

La parte problemática de la pregunta es "no importa cuántas añadas", 0.111... nunca será exactamente igual a 1/9".

En este contexto (impreciso) $0.111\ldots$ es una secuencia infinita de unos; la secuencia de unos no termina, por lo que no hay lugar en el que añadir otro; cada uno ya va seguido de otro. Por lo tanto, $10\times0.111\ldots=1.111\ldots$ es preciso. Por lo tanto, $9\times0.111\ldots=1.000\ldots=1$ es preciso, y $0.111\ldots=1/9$ .

Digo "impreciso" porque también decimos $\pi=3.14159\dots$ donde ... significa una secuencia no especificada de dígitos a continuación. Una forma más precisa de escribir lo que, en el contexto de esta pregunta, queremos decir con $0.111\dots$ es $0.\overline{1}$ donde el grupo de dígitos bajo la barra debe repetirse sin fin.

En esta pregunta, $0.333\ldots=0.\overline{3}$ Y al igual que en el caso anterior, $10\times0.\overline{3}=3.\overline{3}$ y por lo tanto, $9\times0.\overline{3}=3.\overline{0}=3$ , lo que significa que $0.\overline{3}=3/9=1/3$ .

Answer 4

No has seguido el hilo aquí ¿Es cierto que $0.999999999\ldots = 1$ ? .

Bueno, $\frac{1}{3}=0.33333\ldots$

Puede utilizar $1$ Progresión geométrica. O $2$ . El N.S sugerido.

Answer 5

Puedes decir The limit of 0.3333... = 1/3 La diferencia es infinitesimal. Esto lleva a problemas de infinito e igualdad. Si la diferencia entre dos cosas es infinitesimalmente pequeña, ¿son iguales? "no debería ofender ninguna sensibilidad si no hacemos ninguna distinción". http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...