Como sugiere el título, no estoy seguro de cómo mostrar si $\tau=\inf\{t:X_t=\sup_{0\leq t\leq T}X_t\}$ es un tiempo de parada o no, donde $\{X_t\}$ es un proceso adaptado. Intuitivamente, veo que no es un tiempo de parada desde el contexto de las finanzas - si $X_t$ se refiere al precio de las acciones y queremos ejercer una opción de compra americana, entonces si $\tau$ era un tiempo de parada esto contradiría la afirmación de que el ejercicio temprano de una opción de compra americana no es óptimo. Sin embargo, esto es lo más lejos que puedo llegar, ya que mi intuición me dice que esto no está en $\mathcal{F}_t$ generado por $X_t$ Pero, ¿cómo puedo empezar a probar esto de forma rigurosa, y una preocupación mayor es qué pasa con $\mathcal{F}_{t^+}$ ? Sería bueno ver en particular para el caso de movimiento browniano geométrico también.
(NB: Estoy preguntando esto en el SE de Matemáticas en vez de en el SE de QF ya que estoy buscando una justificación más matemática, pero estoy colocando mi argumento de la opción americana aquí para un poco de contexto).
