Dado un espacio topológico X se pueden definir varias nociones de compacidad:
X es compacto si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita.
X es compacto secuencialmente si toda secuencia tiene una subsecuencia convergente.
X es punto límite compacto (o Bolzano-Weierstrass) si todo conjunto infinito tiene un punto de acumulación.
X es contablemente compacto si toda cubierta abierta contable tiene una subcubierta finita.
X es -compacto si es la unión de un número contable de subespacios compactos.
X es pseudocompacto si su si su imagen bajo cualquier función continua a $\mathbb{R}$ es limitado.
X es paracompacto si cada cubierta abierta admite un refinamiento abierto localmente finito (es decir, cada punto de X tiene una vecindad lo suficientemente pequeña como para intersecar sólo finitamente muchos miembros de la cubierta).
X es metacompacto si cada cubierta abierta admite un refinamiento abierto finito (es decir, si cada punto de X está en sólo un número finito de miembros del refinamiento).
X es orthocompact si toda cubierta abierta tiene un refinamiento abierto que preserva el interior (es decir, dada una cubierta abierta existe una subcubierta abierta tal que en cualquier punto, la intersección de todos los conjuntos abiertos en la subcubierta que contiene ese punto también es abierta).
X es mesocompacto si toda cubierta abierta tiene un refinamiento abierto compacto-finito (es decir, dada cualquier cubierta abierta, podemos encontrar un refinamiento abierto tal que todo conjunto compacto está contenido en un número finito de miembros del refinamiento).
Así pues, hay bastantes nociones de compacidad (seguramente hay más que las que he citado aquí arriba). La pregunta es: ¿dónde se estudian sistemáticamente estas definiciones? Lo que me interesa en particular es saber cuándo una implica a la otra, cuándo no (ejemplos), &c.
Puedo responder plenamente a la pregunta para las tres primeras nociones:
Compacto y contable en primer lugar --> Compacto secuencial.
Secuencialmente compacto y contable en segundo lugar --> Compacto.
Compacto secuencial --> Compacto de punto límite.
Punto límite compacto, contable en primer lugar y $T_1$ --> Compacto secuencialmente.
pero ignoro absolutamente los otros casos. ¿Se ha estudiado esto sistemáticamente en alguna parte? Si es así, ¿dónde?
