Vector normal dado una superficie parametrizada

Question

Sé que esto es básico pero no lo veo ahora mismo.

Sea una parametrización de una superficie, en mi caso, $\mathbb{x}(u,v)=(\cos(v)\sin(u),\sin(v)\cos(u),\cos(u))$ donde $u\in(0,\pi)$ y $v\in(-\pi,\pi)$ .

Cómo ver en un sorteo de la superficie quiénes son $x_{v}$ y $x_{u}$ ? Lo mismo para el $u$ -paramétrico y $v$ -curvas paramétricas en la superficie. Además, ¿cómo saber la orientación del vector normal? Es decir, cómo saber si el vector normal $\frac{\mathbb{x_{u}}\times\mathbb{x_{v}}}{||\mathbb{x_{u}}\times\mathbb{x_{v}}||}$ ¿apunta hacia dentro o hacia fuera de la superficie?

Gracias por las respuestas.

Answer 1

Si graficas la función con un entramado que muestre las líneas donde $u$ o $v$ es fija y la otra variable varía, entonces los vectores parciales $X_u$ y $X_v$ apuntará en la misma dirección que las líneas de la red. Por lo tanto, si $\gamma_v(t)=x(t,v)$ es una curva parametrizada donde $v$ es fijo, entonces $X_u$ será el vector tangente a la curva, y su magnitud se escalará con la velocidad de $\gamma.$ Lo mismo ocurre con $X_v$ y los vectores tangentes de las curvas donde $u$ es fijo.

Para determinar la orientación del vector normal, utilice la regla de la mano derecha. Si puedes rodear con tu mano derecha a través de $X_u$ y luego $X_v,$ el vector normal apuntará en la dirección del pulgar. Determinar la orientación de un vector normal es una tarea muy visual, y tendrás que visualizar los vectores tangentes para poder hacerlo.

Para que pueda empezar a resolver su problema específico, $$ X_u=\langle\cos v\cos u, -\sin v \sin u, -\sin u\rangle$$ y $$X_v=\langle -\sin v \sin u, \cos v \cos u, 0 \rangle.$$