"Grupo continuo de transformaciones" es un término antiguo para Grupo de Lie . Esta es, creo, la terminología que utilizaba Sophus Lie, y seguía siendo actual en 1933 cuando Eisenhart publicó su libro Grupos continuos de transformaciones .
Decir que una ecuación diferencial parcial es invariante bajo la acción de un grupo de Lie sólo significa que la composición con cualquier transformación de grupo lleva las soluciones a las soluciones. Más explícitamente, supongamos que $G$ es un grupo de Lie que actúa suavemente sobre una variedad suave $M$ , lo que significa que hay un mapa $\theta\colon G\times M\to M$ , escrito $(g,x)\mapsto \theta_g(x)$ que satisface $\theta_{g_1}\circ\theta_{g_2}=\theta_{g_1g_2}$ y $\theta_{\text{id}}=\text{id}$ . Si $P\colon C^\infty(M)\to C^\infty(M)$ es un operador diferencial parcial, entonces la EDP $P(u)=0$ es invariante bajo la acción del grupo si siempre que $u$ satisface $P(u)=0$ , entonces para cada $g\in G$ , $u\circ \theta_g$ satisface $P(u\circ\theta_g)=0$ . Creo que la principal motivación de Lie para introducir grupos continuos de transformaciones era simplificar el estudio de las EDP explotando sus simetrías, de la misma manera que el estudio de una EDO puede simplificarse si se sabe que es invariante bajo rotaciones o traslaciones.
