Dejemos que $N\leq M \leq G$ . Si $N \trianglelefteq M$ y $M \trianglelefteq G$ ¿tenemos $N \trianglelefteq G$

Question

Dejemos que $N\leq M \leq G$ . Si $N \trianglelefteq M$ y $M \trianglelefteq G$ ¿tenemos $N \trianglelefteq G$ ? Afirmo que no es cierto. Porque pueden existir algunos elementos en $G$ tal que no conmuta con elementos en $N$ . Pero no sé cómo construir un contraejemplo.

Answer 1

Por supuesto, en los grupos abelianos todos los subgrupos son normales. Prueba el grupo no abeliano más pequeño. Es el grupo simétrico en tres letras, de orden 6, pero sólo hay un subgrupo normal propio no trivial, así que no hay ejemplo aquí. Ahora deberías haber visto un cierto grupo no abeliano de orden 12. Ahí hay un ejemplo.

Answer 2

Elija $G = D_8$ con $K = \langle sr^3, r^2\rangle$ y $H = \langle sr^3\rangle$ . Observe que $H \leq K \leq G$ y $H \trianglelefteq K$ y $K \trianglelefteq G$ pero $H \not\trianglelefteq G$ .

Para abordar la CÓMO construyes el contraejemplo: debes tener unos cuantos grupos a tu disposición, como el grupo simétrico, el grupo diedro, el grupo 4 de Klein, $n\mathbb Z$ el grupo de cuaterniones y algunos otros.

Todo se reduce a jugar con los que conoces que no son triviales, como los grupos abelianos están fuera, el grupo de cuaterniones está fuera porque cada grupo es normal en el grupo de cuaterniones. Elegí el grupo diédrico y sólo elegí los grupos normales, y miré los grupos que eran normales en ellos. Una vez que encontré algunos, comprobé si eran normales en el grupo completo.

Dibujar un diagrama de celosía también ayuda.