Demostrar que la independencia del fondo y la invariancia del difeomorfismo de una teoría del espaciotiempo son equivalentes

Question

Las ecuaciones de una teoría pueden derivarse generalmente de una acción junto con un principio de mínima acción ( $\delta S=0$ ). La acción viene dada por:

$$S[f_1, f_2, ...]=\int_M \mathcal{L}(f_1, f_2, ..., g_1, g_2, ...)$$

donde $S$ es una función de $f_1, f_2, ...$ y no es una función de $g_1, g_2, ...$ . Llamo a la $g_1, g_2, ...$ objetos de fondo. He definido una teoría como independiente del fondo si la acción $S$ utilizado para derivar sus ecuaciones de campo no puede definirse de forma que no dependa de ningún objeto para el que no sea un funcional (es decir, no tiene objetos de fondo $g_1, g_2, ...$ ).

Un modelo de una teoría es un conjunto ordenado $<$$M, A_1, A_2, ...$$>$ que representa una posible solución a las ecuaciones de la teoría. Una teoría es invariante por difeomorfismo si, para cualquier solución de las ecuaciones de la teoría $<$$M, A_1, A_2, ..., A_n, \rho$$>$ , $<$$M, f^{ \ast }A_1, f^{ \ast }A_2, ..., f^{ \ast }A_n, f^{ \ast } \rho$$>$ es también una solución para cualquier difeomorfismo $f$ ( $f^{\ast}A_i$ es el arrastre bajo $f$ de $A_i$ ). El $A_1, A_2, ...$ son valores particulares del $f_1, f_2, ... g_1, g_2, ...$ que resuelven las ecuaciones de la teoría (es decir, para las que $\delta S=0$ para variaciones infinitesimales alrededor del $A_1, A_2, ...$ valores).

Quiero demostrar que la independencia de fondo y la invariancia por difeomorfismo de una teoría son equivalentes (es decir, que una teoría es independiente de fondo si y sólo si es invariante por difeomorfismo). Aquí está mi intento actual, pero no estoy seguro de que sea una prueba rigurosa (¡o si esta afirmación es incluso definitivamente cierta!):

Está claro que, tal como he definido los términos, una teoría que no es independiente del fondo generalmente no será invariante por difeomorfismo, porque un difeomorfismo general $f$ no dejará invariables los objetos de fondo absoluto. Este será el caso sólo para la subclase de difeomorfismos para los que $f^{\ast}A_i=A_i$ para todos los objetos de fondo $A_i$ . Quizás sea menos obvio el hecho de que una teoría independiente del fondo será invariante del difeomorfismo. Para ver esto, tomemos algún modelo de una teoría independiente del fondo $<$$M, A_1, A_2, ..., A_n, \rho$$>$ (donde todos los $A_i$ no deben ser objetos de fondo) y algún difeomorfismo $h$ . La acción $S$ utilizado para derivar las ecuaciones de campo de la teoría viene dado por:

$$S[f_1, f_2, ...]=\int_M \mathcal{L}(f_1, f_2, ...)$$

donde $A_1, A_2, ..., A_n, \rho$ son valores particulares de $f_1, f_2, ...$ que satisfagan $\delta S=0$ . Esto significa que el valor de $S$ no cambia por variaciones infinitesimales alrededor del $A_1, A_2, ..., A_n, \rho$ valores. Dado que $f^{\ast}A_i(f(p)) \equiv A_i(p)$ y como $S$ viene dada por una integral sobre la totalidad de la colmena $M$ , $S[A_1, A_2, ...]=S[f^{\ast}A_1, f^{\ast}A_2, ...]$ . Además, como un difeomorfismo es suave, un cambio infinitesimal a $f^{\ast}A_i$ corresponde a un cambio infinitesimal a $A_i$ y, por tanto, el valor de $S$ no cambiará por variaciones infinitesimales alrededor de $f^{\ast}A_1, f^{\ast}A_2, ..., f^{\ast}A_n, f^{\ast}\rho$ tampoco, por lo que estos valores para $f_1, f_2, ...$ también satisfacen $\delta S=0$ .

¡Cualquier ayuda será muy apreciada aquí!

Answer 1

Yo habría considerado que demostrar que la invariancia del difeomorfismo implica la independencia del fondo es la dirección más difícil de demostrar. La razón es que se puede dar una acción que esté escrita en términos de muchas estructuras de fondo, pero que sea secretamente invariante de difeomorfismo. La cuestión es si la acción puede escribirse de forma manifiestamente invariante al difeomorfismo. Un ejemplo de tal acción sería la $3+1$ de la acción de la RG: todo se escribe en términos de la geometría espacial de la foliación (curvaturas intrínseca y extrínseca), y por lo tanto parecería depender de la foliación como estructura de fondo, aunque por supuesto no lo hace porque proviene de una acción manifiestamente independiente del fondo.

Hay un artículo de Iyer y Wald que aborda directamente esta cuestión: https://arxiv.org/abs/gr-qc/9403028 Ver el lema 2.1. Demuestran que, efectivamente, una acción invariante de difeomorfismo siempre puede escribirse de forma manifiestamente invariante de difeomorfismo (es decir, independiente del fondo).

La implicación de que la independencia del fondo implica la invariabilidad del difeomorfismo la habría considerado como la más obvia. Parece que a partir de tu definición de objetos de fondo, dirías que su ausencia significa que el funcional lagrangiano satisface \begin {Edición}L[f^* A_i] = f^* L[A_i] \qquad (*) \end que da como resultado que da $S[A_i] = S[f^* A_i]$ tras la integración (hasta los términos de frontera que ignoraré para esta pregunta. Los términos de frontera tienen consecuencias importantes, pero parece que esta pregunta se refiere más a la equivalencia local de la invariabilidad de la diferencia y la independencia del fondo). Variando el Lagrangiano se obtiene $$\delta L[A_j] = E^i[A_j] \delta A_i$$ dejando de nuevo los términos de frontera de la forma $d\theta[A_j, \delta A_j]$ . Pero luego variando ( $*$ ), obtenemos $$E^i[f^* A_j] \delta(f^* A_i) = f^*(E^i[A_j]\delta A_i) = f^*E^i[A_j] f^*\delta A_i,$$ que utiliza esa $\delta$ se desplaza con $f^*$ . Ciertamente existen dife $f$ que satisfagan $[\delta, f^*]=0$ y basta con limitar la atención a ellos. La ecuación anterior es cierta para todas las variaciones, lo que nos permite concluir que $E^i[f^* A_j] = f^*E^i[A_j]$ y por lo tanto $A_j$ definen una solución (E[A_j]=0) si $f^* A_j$ hacer.