Primero, algunas correcciones.
El lado izquierdo es un tensor, pero cada componente del lado derecho no es por sí mismo un tensor
Querías decir "cada término del lado derecho", ¿no? Los componentes de los tensores (o casi tensores) por supuesto nunca se transforman como tensores en sí mismos. Un componente es un número que se puede obtener eligiendo un valor del índice $\mu$ etc., por ejemplo $V_0$ . Eso nunca es un tensor. Los objetos $a,b$ en la expresión $a+b$ o quizás $a-b$ se denominan términos.
Ahora bien, cuando se dice que la ecuación de Heisenberg promediada proviene "directamente de la mecánica clásica", suena extraño. Una ecuación mecánica cuántica no puede "venir directamente de la mecánica clásica" porque la mecánica cuántica no es una parte de la mecánica clásica en ningún sentido; es una teoría más general. Una afirmación más correcta de este tipo es exactamente la contraria: la contrapartida clásica de la ecuación cuántica que has escrito -una que implica paréntesis de Poisson- puede derivarse directamente de la mecánica cuántica. La mecánica clásica es un límite de la mecánica cuántica; esa es la única relación legítima y exacta entre ambas teorías. Por otra parte, una teoría cuántica no puede obtenerse en general "directamente de una teoría clásica" y lo mismo ocurre con todos sus objetos y ecuaciones.
Ahora bien, sí, la modificación de las derivadas por términos adicionales es algo omnipresente en la física. Es tan omnipresente que no deberías exagerar el impacto de la similitud matemática. Por ejemplo, escribiste la derivada covariante en la RG. Hay un objeto aún más similar, una derivada covariante en las teorías gauge como el electromagnetismo $$\nabla_\mu = \partial_\mu +i e\cdot A_\mu$$ Aquí, el término extra es proporcional al potencial electromagnético en lugar del símbolo de Christoffel $\Gamma$ de su ejemplo. A pesar de esta similitud en las matemáticas requeridas, no hay una forma sencilla de unificar las teorías gauge con la gravedad. Las diferencias -por ejemplo, en el número de índices en $\Gamma$ y $A_\mu$ Además de las diferencias más profundas, son sustanciales, de modo que si se intenta desarrollar las teorías completas, las cosas no funcionan para la gravedad del mismo modo que para las teorías gauge.
Ahora bien, sí, la derivada total de un operador en mecánica cuántica puede obtenerse a partir del cálculo de la derivada parcial -la dependencia explícita de $t$ que se escribe como parte de la definición del operador (es el último término del lado derecho, a menudo igual a cero porque estudiamos "operadores cuya definición es constante en el tiempo") más un término extra proporcional a $[A,H]$ (has escrito los valores de las expectativas, pero no era necesario: la ecuación también es válida para los operadores enteros) que es remotamente análoga al término de conexión con $\Gamma$ y/o $A_\mu$ .
Y sí, se pueden decir muchos hechos relacionados sobre las razones por las que aparecen estos términos extra y por qué son análogos en ambas situaciones. En general, los términos de conexión en las derivadas "totales/covariantes" están ahí porque relacionan los "espacios tangentes o internos" en un momento de tiempo (o coordenadas espaciales) y el momento de tiempo cercano, infinitesimalmente distante.
En el caso de tu ejemplo relativista general, se relacionan los haces/espacios tangentes (y/o los cotangentes). Cuando se trata de desplazar un vector (o tensor) desde un punto del espaciotiempo a otro cercano donde la métrica es diferente, es natural girar un poco las componentes en función del cambio (primera derivada) de la métrica, es decir, en función de $\Gamma$ (que depende de las primeras derivadas de la métrica y, por supuesto, de la propia métrica). La forma más natural de "desplazar" un vector a un punto cercano es el transporte paralelo. La derivada covariante mide cómo el campo real $V_\mu$ etc. cambia con las coordenadas del espaciotiempo cuando se elimina el cambio "normal" que se espera por el transporte paralelo, es decir, cuando se añade el $\Gamma$ términos de conexión.
Del mismo modo, en el electromagnetismo y en las teorías de Yang-Mills, se puede "transportar en paralelo" de forma natural un campo cargado a un punto cercano. Es natural que la fase cambie por $e\cdot A_\mu dx^\mu$ . De nuevo, la derivada covariante expresa en qué medida el campo real cambia de forma diferente a lo que se espera de la $A_\mu$ -transporte paralelo dependiente. Esta diferencia -una especie de "anomalía" en el sentido coloquial- es un objeto más natural que las simples derivadas parciales. También se transforma "covariantemente", una analogía de su condición de tensor.
Finalmente, en el ejemplo de la ecuación cuántica de Heisenberg, el desplazamiento natural de un momento $t$ al momento cercano $t+dt$ va acompañada de una transformación en el espacio de Hilbert por $1+i\cdot dt\cdot H/\hbar$ . Esta "transformación/rotación unitaria" gradual del espacio de Hilbert es lo que vemos también en la ecuación de Schrödinger. En la ecuación de Heisenberg, observamos la acción derivada sobre los operadores - porque $H$ actúa tanto sobre kets como sobre bras, la acción de esta rotación infinitesimal sobre los operadores está representada por los conmutadores $[A,H]$ La analogía de $H\psi$ . La ecuación de Heisenberg dice simplemente que los operadores evolucionan "naturalmente" según la dependencia explícita así como los "términos de conexión" - y los términos de conexión que relacionan momentos cercanos del tiempo son proporcionales al Hamiltoniano en este caso.
Si considera que los ejemplos de su pregunta son realmente análogos, puede decir que aparecen en cualquier parte de la física en la que hay ciertos "espacios reales o abstractos" que están unidos a cada momento del tiempo -o a cada punto del espaciotiempo o quizás a otro espacio-, pero pueden estar unidos de varias formas rotadas y uno se ve obligado a estudiar si las "rotaciones hechas antes de los enlaces" se hacen de forma diferente en dos puntos cercanos del tiempo o del espaciotiempo. Pero como casi todo en la física depende de algunas variables continuas (tiempo, espacio, etc.) y los espacios con simetrías son también omnipresentes en la física, la aparición de la "analogía" de la derivada covariante está garantizada que también es bastante universal. Esta es una de las similitudes, pero hay montones de aspectos en los que las situaciones o subcampos de la física difieren y tampoco se pueden pasar por alto.
