¿cómo se demuestra que una integral definida es menor que otra integral definida sobre la misma región?

Question

¿Cómo se muestra

$$ \int ^{b}_{a} f(x) \,dx \leq \int ^{b}_{a} g(x) \,dx$$

si sabes que f(x) y g(x) son continuas sobre [a,b] y $$f(x) \leq g(x)$$ para $${a \leq x \leq b}$$

Esta es la forma en que yo lo resolvería.

Mostrar $$ \int ^{b}_{a} f(x) \, dx \leq \int ^{b}_{a} g(x) \, dx$$ Mostrar $$ \int ^{b}_{a} f(x) \, dx - \int ^{b}_{a} g(x) \, dx \leq 0$$ Mostrar $$ \int ^{b}_{a} (f(x) - g(x)) \, dx \leq 0$$

Como sabemos $$f(x) \leq g(x)$$ se deduce que $$f(x) - g(x) \leq 0$$

lo que significa:

Mostrar $$ \int ^{b}_{a} \text{(something less than or equal to 0)} \, dx \leq 0$$

Pero obviamente, si se integra algo menor o igual a $0$ vas a terminar con algo menor o igual a 0 [como se iba a mostrar].

¿Es esta una prueba correcta?

Answer 1

Bueno, vamos a recoger desde el momento en que tienes $$\int^b_a(f(x)-g(x))\,dx\leq 0$$

Para demostrarlo, consideremos una función $H(x)$ definido de la siguiente manera

$$H(x)=\int^x_a(f(t)-g(t))\,dt.$$

Es obvio que $H(a)=0$ . Sabemos que una función decreciente es una función que tiene derivada negativa, pero

$$H^\prime(x)=f(x)-g(x)\leq 0$$

Esto significa que $H(x)$ está disminuyendo en $[a,b]$ y posteriormente $0=H(a)\geq H(x),\,\forall x\in[a,b]$ .