Demostrar que si $[F[u]:F]$ es impar, entonces $F[u]=F[u^2]$

Question

Dejemos que $F$ sea un campo, demuestre que si $[F[u]:F]$ es impar, donde $[F[u]:F]$ es el grado del polinomio mínimo de $u$ en $F$ entonces $F[u]=F[u^2]$ .

Afirmo que como $u$ es algebraico sobre $F$ , dejemos que $f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n\in F[x]$ sea el polinomio mínimo de $u$ en $F$ (donde $n$ es impar), por lo que si $g(x)\in F[x]$ , $g(x)=f(x)q(x)+r(x)$ donde $\deg r(x)<\deg f(x)=n$ y podemos escribir $g(u)=0\cdot q(u)+r(u)$ por lo que los elementos de $F[u]$ tiene la forma $r(u)=b_0+b_1u+\dots+b_{n-1}u^{n-1}$ . A estas alturas de la prueba no sé cómo seguir. ¿Alguna idea?

Answer 1

Pista 1 :

Si $F\subset F[u^2]\subset F[u]$ (inclusión adecuada) entonces $\left [F[u]:F\right ]=\left [F[u]:F[u^2]\right ]\cdot \left [F[u^2]:F\right ]$

Pista 2 :

¿Cuáles son los posibles valores de $\left [F[u]:F[u^2]\right ]$ ?

Pista 3 :

Suponiendo que $\left [F[u]:F\right ]$ es impar, intenta llegar a una contradicción.