Una forma mejor de demostrarlo sería utilizar el teorema de Fubini para cambiar el orden de integración. Esto también te da una condición cuando el resultado que tienes es verdadero.
Considere $I = \displaystyle \int_0^{\infty}n x^{n-1} (1-F(x))dx$ .
Utilizando el hecho de que $\displaystyle \int_x^{\infty} f(y)dy = 1 - F(x)$ obtenemos $I = \displaystyle \int_0^{\infty}n x^{n-1} \int_x^{\infty} f(y) dy dx$ .
Ahora integramos primero con respecto a $y$ (la integral interna) y $y$ va de $x$ a $\infty$ y luego integrar con respecto a $x$ (la integral exterior), $x$ va de $0$ a $\infty$ .
Cambiar el orden de integración, es decir, integrar con respecto a $x$ primero y luego con respecto a $y$ .
Obsérvese que esto puede hacerse siempre que la integral $I < \infty$ (Véase el teorema de Fubini). Esta es la condición que obtienen svenkatr y trutheality también.
Cambiando el orden de integración, obtenemos
$I = \displaystyle \int_0^{\infty} \displaystyle \int_{0}^{y} nx^{n-1}f(y)dxdy$ .
Tenga en cuenta que ahora $x$ en la integral interna va de $0$ a $y$ y $y$ va de $0$ a $\infty$ .
Ahora la integral interna con respecto a $x$ se puede realizar fácilmente y ahora obtenemos
$I = \displaystyle \int_0^{\infty} y^{n}f(y)dy = E[X^n]$ .
Por lo tanto, tenemos $\displaystyle \int_0^{\infty}n x^{n-1} (1-F(x))dx = E[X^n]$ .