¿Momentos y variables aleatorias no negativas?

Question

Quiero demostrar que para variables aleatorias no negativas con distribución F: $$E(X^{n}) = \int_0^\infty n x^{n-1} P(\{Xx\}) dx$$

¿Es correcta la siguiente prueba?

$$R.H.S = \int_0^\infty n x^{n-1} P(\{Xx\}) dx = \int_0^\infty n x^{n-1} (1-F(x)) dx$$

utilizando la integración por partes: $$R.H.S = [x^{n}(1-F(x))]_0^\infty + \int_0^\infty x^{n} f(x) dx = 0 + \int_0^\infty x^{n} f(x) dx = E(X^{n})$$

Si no es correcto, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

Esta es otra forma. (Como señalan los demás, la afirmación es verdadera si $E[X^n]$ existe realmente).

Dejemos que $Y = X^n$ . $Y$ es no negativo si $X$ es.

Sabemos que $$E[Y] = \int_0^{\infty} P(Y \geq t) dt,$$ así que $$E[X^n] = \int_0^{\infty} P(X^n \geq t) dt.$$ A continuación, realice el cambio de variables $t = x^n$ . Esto da como resultado inmediato $$E[X^n] = \int_0^{\infty} n x^{n-1} P(X^n \geq x^n) dx = \int_0^{\infty} n x^{n-1} P(X \geq x) dx.$$

Answer 2

Si ${\rm E}(X^n) < \infty$ entonces $\int_0^\infty {x^n f(x){\rm d}x} < \infty $ y a su vez, $\int_M^\infty {x^n f(x){\rm d}x} \to 0$ como $M \to \infty$ . Desde $\int_M^\infty {x^n f(x){\rm d}x} \geq \int_M^\infty {M^n f(x){\rm d}x} = M^n [1 - F(M)]$ tenemos que $M^n [1 - F(M)] \to 0$ como $M \to \infty$ . Por lo tanto, su solución es correcta (suponiendo que ${\rm E}(X^n) < \infty$ ).

Answer 3

Una forma mejor de demostrarlo sería utilizar el teorema de Fubini para cambiar el orden de integración. Esto también te da una condición cuando el resultado que tienes es verdadero.

Considere $I = \displaystyle \int_0^{\infty}n x^{n-1} (1-F(x))dx$ .

Utilizando el hecho de que $\displaystyle \int_x^{\infty} f(y)dy = 1 - F(x)$ obtenemos $I = \displaystyle \int_0^{\infty}n x^{n-1} \int_x^{\infty} f(y) dy dx$ .

Ahora integramos primero con respecto a $y$ (la integral interna) y $y$ va de $x$ a $\infty$ y luego integrar con respecto a $x$ (la integral exterior), $x$ va de $0$ a $\infty$ .

Cambiar el orden de integración, es decir, integrar con respecto a $x$ primero y luego con respecto a $y$ .

Obsérvese que esto puede hacerse siempre que la integral $I < \infty$ (Véase el teorema de Fubini). Esta es la condición que obtienen svenkatr y trutheality también.

Cambiando el orden de integración, obtenemos

$I = \displaystyle \int_0^{\infty} \displaystyle \int_{0}^{y} nx^{n-1}f(y)dxdy$ .

Tenga en cuenta que ahora $x$ en la integral interna va de $0$ a $y$ y $y$ va de $0$ a $\infty$ .

Ahora la integral interna con respecto a $x$ se puede realizar fácilmente y ahora obtenemos

$I = \displaystyle \int_0^{\infty} y^{n}f(y)dy = E[X^n]$ .

Por lo tanto, tenemos $\displaystyle \int_0^{\infty}n x^{n-1} (1-F(x))dx = E[X^n]$ .

Answer 4

Como cuestión de notación, debe escribir la expectativa como $E(X^n)$ en lugar de $E(x^n)$ . La expectativa no es una función de $x$ .

Su prueba funcionaría si $\lim_{x \to \infty} x^n (1-F(x)) = 0$ . No estoy seguro de que esto sea cierto para cualquier distribución.

Answer 5

Sólo si $\lim_{x\rightarrow \infty} x^n(1-F(x)) = 0$ .

No parece que eso sea cierto en general.