Notación relativa a las variables aleatorias

Question

Sea X una variable aleatoria.

Consideremos X ~ F. Se puede leer como X tiene distribución F.

¿A qué se refiere la distribución aquí? Considere las siguientes interpretaciones

1) Si X es continuo, entonces F es una función de densidad de probabilidad y si X es discreto entonces F es una función de masa de probabilidad.

2) F es una función de distribución acumulativa.

¿Cuál de las anteriores es correcta? Si no lo es, ¿a qué distribución se refiere la notación?

Answer 1

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria de valor real. Hay algunos libros de texto de probabilidad que utilizan el término "distribución de $X$ "para referirse a la función de distribución acumulativa (FDA) de $X$ . En estos libros, la expresión $X \sim F$ a menudo significa que $F$ es la FCD de $X$ . Sospecho que este es el caso de su ejemplo.

Sin embargo, creo que la definición más estándar de "la distribución de $X$ "es la medida de probabilidad $\mu$ en $\mathbb R$ inducido por $X$ : $$ \mu(A) = P(X \in A) $$ para cualquier conjunto medible $A \subset \mathbb R$ . Por ejemplo, esta definición se utiliza en Folland.

Answer 2

En la mayoría de los lugares donde veo el $X \sim \square$ notación, mi respuesta sería "ninguna". La cosa en el $\square$ no es ni un pdf ni un cdf.

A menudo veo distribuciones de probabilidad especificadas en un formato como éste:

$$ X \sim N(0,1).$$

Esto dice que la variable aleatoria $X$ tiene una distribución normal estándar (una distribución normal con media cero y varianza $1$ ).

No recuerdo haber visto nunca $N(0,1)$ utilizado como nombre de una función. Según mi experiencia, no es ni la pdf de la distribución normal estándar ni la cdf de la distribución normal estándar. Es simplemente el nombre de la propia distribución, que puede identificarse como la distribución continua de valor real con la pdf $$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} $$ o la distribución de valor real con la fdc $$ F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} dt. $$