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Números de ocupación y estados de una sola partícula

Con la representación del número de ocupación de los estados multipartícula estoy contento con el significado $$ \left| 1, 1 \right> $$ para representar un sistema con $1$ partícula en el primer estado, $1$ partículas en el segundo estado de modo que la función de onda correspondiente de los estados asociados de una sola partícula sería (para fermiones sin espín) sería $$ \psi_1 ( {\bf{r}}_1)) \cdot \psi_2 ({\bf{r}}_2) $$ que habría que hacer antisimétrico

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \bigg( \psi_1 ( {\bf{r}}_1)) \cdot \psi_2 ({\bf{r}}_2) - \psi_1 ( {\bf{r}}_2)) \cdot \psi_2 ({\bf{r}}_1)\bigg). $$

Sin embargo, ¿qué puedo hacer con lo siguiente?

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \bigg( \left|1, 0 \right> + \left| 0, 1 \right> \bigg)~?$$

¿Representa un estado con una partícula definitivamente en el estado 1 y la otra partícula definitivamente en el estado 2 de manera que la función de onda correspondiente sería

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg( \psi_1 ( {\bf{r}}_1) + \psi_2 ( {\bf{r}}_2)\bigg)~?$$

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Brian Puntos 1

$\vert 0,1\rangle$ y $\vert 1,0\rangle$ son ambos estados de una sola partícula y viven en el sector de una sola partícula del espacio de Fock. Si quieres escribirlos en la base de posición serían $$\langle \hat{\mathbf{r}}\vert 0,1\rangle = \psi_2(\mathbf{r})$$$$\langle \hat{\mathbf{r}}\vert 1,0\rangle = \psi_1(\mathbf{r})$$ Así, la superposición que te interesa sería simplemente la siguiente en la base de posición $$\frac{1}{\sqrt{2}}\langle\hat{\mathbf{r}}\vert0,1\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\langle\hat{\mathbf{r}}\vert1,0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\psi_2(\mathbf{r})+\psi_1(\mathbf{r})\big)$$

En particular, el operador de posición es simplemente $\hat{\mathbf{r}}$ en el sector de una sola partícula y no $\hat{\mathbf{r}}\otimes\hat{\mathbf{r}}$ . El espacio de Fock se construye tomando la suma directa de productos (simetrizados/antisimetrizados) de copias de un espacio de Hilbert de una sola partícula. Así, los operadores en el espacio de Fock también se construyen como la suma directa de los operadores en los correspondientes ingredientes de la suma directa. Así, si se desea, el operador de posición en el espacio de Fock es $\hat{\mathbf{r}} \oplus (\hat{\mathbf{r}}\otimes\hat{\mathbf{r}})\oplus(\hat{\mathbf{r}}\otimes\hat{\mathbf{r}}\otimes\hat{\mathbf{r}})\oplus...$ . Así, cuando se aplica sobre un estado que vive puramente en, digamos, el $n-$ sector de las partículas, el operador de posición correspondiente sería simplemente $\hat{\mathbf{r}}\otimes...n\text{ times}...\otimes\hat{\mathbf{r}}$ . Sin embargo, si se expresara un estado como $\vert 0,1\rangle+\vert 1,1\rangle+\vert 1,0\rangle$ se vería que la parte relevante del operador de posición en el espacio de Fock completo sería $\hat{\mathbf{r}}\oplus(\hat{\mathbf{r}}\otimes\hat{\mathbf{r}})$ . Y así, su función de onda base de posición se escribiría como $$\psi_1(\mathbf{r})+\psi_2(\mathbf{r})+\frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_1(\mathbf{r}_1)\psi_2(\mathbf{r}_2)\pm\psi_2(\mathbf{r}_1)\psi_1(\mathbf{r}_2))$$


Posdata: Tal vez, habría que aclarar dónde está el $\psi_1$ y $\psi_2$ provienen de la función de onda de $\vert 1,0\rangle$ , $\vert 0,1\rangle$ -- ya que uno podría confundirse y pensar que el $1,2$ en el subíndice se supone que de alguna manera se refiere a si es la "primera partícula" o "la segunda". Ese no es el propósito de estos subíndices. Simplemente se refieren a los valores propios del operador correspondiente al que hemos construido la representación del número de ocupación. En particular, la representación del número de ocupación siempre se refiere a algún operador cuyos valores propios están siendo ocupados por un número de partículas igual a ese número de ocupación. Por ejemplo, si la representación del número de ocupación se construye en referencia al operador de momento, entonces $n_1,n_2$ suelen escribirse como $n_{p_1}, n_{p_2}$ -- lo que significa que representan el número de partículas con momento $p_1$ y $p_2$ respectivamente. En este escenario, $\vert \psi_{1,2}\rangle = \vert p_{1,2}\rangle$ . Por lo tanto, una notación mejor para nosotros sería aclarar explícitamente qué operador $\hat{O}$ se refiere a los números de ocupación y luego escribir cosas como $\psi_{o_1}$ , $\psi_{o_2}$ etc.

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