Series con funciones Zeta de Riemann

Question

Quiero saber si existe algún resultado sobre el valor exacto o aproximado de la siguiente suma de las series infinitas que involucran funciones Zeta de Riemann. Cualquier indicación hacia resultados relacionados será de gran ayuda. Gracias.

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-b)^n}{n\,!} \frac{\zeta(a(n+1))}{\zeta(a)}, ~\text{ where $ a, b $ are positive real constants}$

Answer 1

Suponiendo que $a>\frac12$ , \begin {align*} \sum_ {n=1}^ \infty \frac {(-b)^n}{n!} \frac { \zeta (a(n+1))}{ \zeta (a)} &= \frac1 { \zeta (a)} \sum_ {n=1}^ \infty \frac {(-b)^n}{n!} \sum_ {k=1}^ \infty \frac1 {k^{a(n+1)}} \\ &= \frac1 { \zeta (a)} \sum_ {k=1}^ \infty \frac1 {k^a} \sum_ {n=1}^ \infty \frac {(-b)^n}{n!k^{an}} \\ &= \frac1 { \zeta (a)} \sum_ {k=1}^ \infty \frac1 {k^a} \big (e^{-b/k^a}-1 \big ). \end {align*} Si $b$ es pequeño, entonces esta serie es aproximadamente $$\frac1{\zeta(a)} \sum_{k=1}^\infty \frac1{k^a} \frac{-b}{k^a} = \frac{-b\zeta(2a)}{\zeta(a)}.$$ Pero si $b$ no es tan pequeño, entonces los primeros términos de la suma estarán más cerca de $-1/k^a$ , haciendo que toda la expresión se acerque más a $-1$ .