Construcción de un triángulo rectángulo

Question

Es una pregunta de nivel de bachillerato que parece que no podemos resolver. Aquí está:

Dado $2$ líneas, una de la longitud de la hipotenusa y la otra con la longitud de la suma de las $2$ los catetos, construye con regla y compás el triángulo rectángulo correspondiente

No he avanzado mucho. Parece que hay un teorema o unos cuantos datos básicos sobre los triángulos rectángulos que me faltan. ¿Qué camino sugieres que tome?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Dejemos que $ABC$ sea el triángulo que se quiere construir, con $\angle A =90^\circ$ .

Entonces se le da $AB+AC$ y $BC$ .

Ampliar $BA$ pasado $A$ a $BB'$ por una longitud igual a $AC$ Es decir $AB'=AC$ . Entonces, el triángulo $ACB'$ es un triángulo isósceles rectángulo.

Esto significa que en el triángulo $BB'C$ ya sabes $BB'=AB+AC$ , $BC$ y el ángulo $B'=45^\circ$ .

Esto sugiere cómo se puede construir: construir el triángulo $BB'C$ y luego construir la altura a partir de $C$ . El tramo de la altura será $A$ .

Dado que está construyendo $BB'C$ por $SSA$ debería haber dos soluciones para $C$ .

Aquí está la construcción actual:

Comienza dibujando un ángulo de $45^\circ$ . Denotemos el vértice del ángulo $B'$ .

Por un lado escoge un punto $B$ para que $BB'=AC+AB$ .

A continuación, dibuja un círculo de centro $B$ y el radio $BC$ . Esto intersectará la otra semirrecta del ángulo en dos puntos $C_1, C_2$ . Elige el que hace el ángulo $CBB'$ agudo.

P.D. Yo siempre resuelvo los problemas como lo hizo i.m.s., me gusta más el enfoque algebraico, pero como mencionas que es nivel de bachillerato probablemente busques el enfoque geométrico.

Answer 2

Sabes la longitud de la hipotenusa $c$ y la suma de las longitudes de los tramos $u=a+b$ . Así también sabes $v=u^2-c^2=a^2+b^2+2ab-a^2-b^2=2ab$ . Entonces $b=u-a=u-v/2b$ por lo que b satisface la ecuación cuadrática $b^2-ub+v/2=0$ que puede construirse con regla y compás.

Answer 3

El álgebra puede guiar a la geometría. Queremos construir un triángulo con una hipotenusa dada $c$ y las piernas $a$ y $b$ donde se nos da $a+b$ .

Tenga en cuenta que $$(a-b)^2=2(a^2+b^2)-(a+b)^2=2c^2-(a+b)^2.$$ Es fácil construir una línea de longitud $\sqrt{2} c$ . Entonces construye el triángulo rectángulo con hipotenusa $\sqrt{2}c$ y un tramo igual a $a+b$ . Fácil, con centro en la mitad de la hipotenusa, dibuja un círculo que pase por los puntos extremos. A continuación, a través de un punto final dibujar un círculo de radio $a+b$ .

El otro cateto de nuestro triángulo recién construido tiene la longitud $|a-b|$ . Reste esto de $a+b$ . El resultado es dos veces un tramo de nuestro triángulo objetivo.