Encontrar el límite de la función como $x$ se acerca a $0$

Question

Encontrar el límite de $$\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}6x^2\times(\cot(x))(\csc(2x))$$ Por favor, que alguien lo explique todo bien. Por alguna razón esto parece ser muy confuso para mí.

Answer 1

$$6x^2 \cot x \csc (2x)$$ $$6x^2 \frac{\cos x}{\sin x \sin (2x)}$$ $$6x^2 \frac{\cos x}{\sin x (2\sin x \cos x)}$$ $$\frac{6x^2}{2\sin^2 x}$$ $$\frac{3}{\frac{\sin^2 x}{x^2}}$$

Sabemos que, el límite de $\frac{\sin x}{x} = 1$ cuando $x$ tiende a $0$ .

Por lo tanto, el valor del límite dado es: $3$

Nota: Si no conoce ese Límite de $\frac{\sin x}{x} = 1$ cuando $x$ tiende a $0$ y desea demostrarlo, puede hacerlo utilizando L'Hospital o mediante el uso de Serie Taylor ampliación para $\sin x$ .

Answer 2

$\csc(2x)=1/\sin(2x)$

Así que tenemos,

$$6x^2\cdot (\cos(x)/\sin(x))\cdot 1/\sin(2x)$$

O,

$(6x^2\cdot \cos(x))/(\sin(x)\sin(2x)$

Porque después de poner $x=0$ tenemos $0/0$ tenemos que utilizar la regla de L'Hôpital, o hacer derivadas arriba parte y abajo parte, y luego tratar de poner $x=0$ de nuevo, ¿podría continuar a partir de esto?

http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html

Answer 3

En primer lugar, el producto de la función trigonométrica se simplifica a $\dfrac{\csc ^2(x)}{2}$ . Entonces, truncada en los primeros términos, la serie de Taylor de $\csc(x)$ es $\frac{1}{x}+\frac{x}{6}+O\left(x^3\right)$ . Entonces, sustituye y expande la expresión : deberías llegar a $$3+x^2+\frac{x^4}{5}$$ Así que el límite es de un millón de euros.