¿Cuántos componentes conectados tiene $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$?

Question

He notado que $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$ no es un espacio conectado, porque si fuera $\det(\mathrm{GL}_n(\mathbb R))$ (donde $\det$ es la función que atribuye a cada matriz $n\times n$ su determinante) también sería un espacio conectado, ya que $\det$ es una función continua. Pero $\det(\mathrm{GL}_n(\mathbb R))=\mathbb R\setminus{0},$ por lo que no está conectado.

Empecé a pensar si podía probar que $\det^{-1}((-\infty,0))$ y $\det^{-1}((0,\infty))$ están conectados. Pero no sé cómo demostrarlo. Estoy leyendo mis notas del curso de topología que tomé el año pasado y no veo nada sobre probar la conectividad ...

Answer 1

Sí ,$GL(\mathbb R^n)$tiene exactamente dos componentes. Se puede obtener una prueba fácil de la siguiente manera: Eche un vistazo a qué operaciones elementales del algoritmo de Gauss se pueden presentar como rutas en $GL(\mathbb R^n)$. Concluya que cualquier punto de $GL(\mathbb R^n)$ se puede conectar a $\text{diag}_n(1,1,\dots, 1)$ o $\text{diag}_n(1,1,\dots, -1)$ mediante una ruta de acceso, donde $D = \text{diag}_n(a_1,a_2,\dots, an)$ es la matriz diagonal con las entradas $D{i,i} = ai$ y $D{i,j} = 0$ para $i \neq j$.