Variables de Poisson - desigualdades de suma de estas variables

Question

1. Dejemos que $X_1, X_2$ son independientes y ambos tienen una distribución de Poisson con $\lambda=1$ . Encuentre $P\left(\frac{X_1+X_2}{2}\le 1\right)$

2. Dejemos que $X_1, X_2, ...$ son independientes y todas ellas tienen una distribución de Poisson con $\lambda=1$ . $\lim_{n\to\infty}P\left(\frac{X_1+...+X_n}{n}\le 1\right)$

Mi intento :

1. $P\left(\frac{X_1+X_2}{2}\le 1\right)=P\left(\frac{X_1+X_2}{2}=0\right)+P\left(\frac{X_1+X_2}{2}=1\right)= P\left(X_1+X_2=0\right)+P\left(X_1+X_2=2\right)$
   Ahora bien, no sé por qué nos hacemos a la idea de la independencia. Después de todo, no lo necesito. Sabemos, que si $X_1 \tilde {} Poiss(a), X_2\tilde{}Poiss(b) $ entonces $X_1+X_2\tilde {} Poiss(a+b)$ .
   Así, en nuestro caso $X_1+X_2\tilde{} Poiss(2)$ Por lo tanto $X_1+X_2=X3\tilde{} Poiss(2)$
   $P(X_3=0)+P(X_3=1)=\frac{2^0}{0!}e^{-2}+\frac{2^1}{1!}e^{-2}=3e^{-2}$

En este momento no voy a empezar 2. porque no terminé 1. . En particular, no entiendo por qué se da el supuesto de la independencia.
¿Puede ayudarme?

Answer 1

Necesitamos el supuesto de la independencia. La independencia es necesaria para establecer la distribución de la suma. Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias independientes con la distribución de Poisson, entonces $X+Y$ también tiene la distribución de Poisson (véase aquí ).

Sin embargo, si $X$ y $Y$ no son necesariamente independientes, la conclusión ya no es válida. Por ejemplo, $Y=X$ . Entonces $X$ y $Y$ tienen la distribución de Poisson, pero $X+Y=2X$ ya no tiene la distribución de Poisson. Así que la suposición de la independencia es esencial aquí.