¿Cómo puedo demostrar que $p_{x,y}^{(n)}=P(X_n=y|X_0=x)$ ?

Question

Dejemos que $(\Omega,\mathcal{A},P)$ un espacio de probabilidad.

Dejemos que $E$ sea un conjunto contable y $\Bbb P:=(p_{x,y})_{x,y\in E}$ una matriz estocástica (es decir $p_{x,y}\ge0$ y $\sum_{y\in E}p_{x,y}=1$ ) y $\mu$ una probabilidad en $E$ . Sabemos que entonces existe una cadena de Markov $(X_n)_{n\ge0}$ definido en $(\Omega,\mathcal{A},P)$ y es tal que $$P(X_{k+1}=y|X_k=x)=p_{x,y}\;\;\forall x,y\in E,\;\;\forall k\ge0\;.$$

Dejemos entonces que $\Bbb P^n=(p_{x,y}^{(n)})_{x,y\in E}$ sea el $n$ -ésima potencia de la matriz $\Bbb P$ .

Sabemos que $$p_{x,y}^{(n)}=\sum_{x_1,\dots,x_{n-1}\in E}p_{x,x_1}p_{x_1,x_2}\dots p_{x_{n-1}y}\;\;.$$

¿Cómo puedo demostrar que $$p_{x,y}^{(n)}=P(X_n=y|X_0=x)\;\;\;?$$ Creo que no debería ser difícil, pero estoy atascado.

Traté de ver el caso $n=2$ pero después de escribir \begin {align*} p_{x,y}^{(2)} &= \sum_ {z \in E}p_{x,z}p_{z,y} \\ &= \sum_ {z \in E}P(X_1=z|X_0=x)P(X_2=y|X_1=z) \end {align*} No sé cómo puedo manejar esto.

¿Puede alguien ayudarme? Muchas gracias

Answer 1

Una pista:

Si $\lambda_0$ es un vector de posición, sabemos que $\lambda_1 = \lambda_0\mathbb{P}$ . De ello se desprende que $\lambda_2 = \lambda_1\mathbb{P} = \lambda_0\mathbb{P}^2$

La inducción puede demostrar que $\lambda_n = \lambda_0\mathbb{P}^n$

Answer 2

Para una derivación formal, se necesitan tres hechos.

La primera es la identidad $$P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)}.$$

La segunda una propiedad definitoria de las cadenas de Markov, a saber, que $$P(X_{n+1}=x_{n+1} \,|\, X_0=x_0,\,\ldots,\, X_n=x_n) = P(X_{n+1}=x_{n+1} \,|\, X_n=x_n),$$ es decir, que $X_n$ contiene tanta información sobre $X_{n+1}$ como toda la historia $X_0,\,\ldots,\,X_n$ lo hace.

La tercera es que si $A = A_1 \cup \ldots \cup A_n$ y todos los $A_i$ son disjuntos, entonces $$P(A) = P(A_1) + \ldots + P(A_n),$$ y lo mismo ocurre si se añade un $B$ como condición previa, es decir $$P(A|B) = P(A_1\,|\,B) + \ldots + P(A_n\,|\,B).$$

Utilizando las dos primeras identidades, se obtiene $$\begin{eqnarray} P(X_2=y\,|\,X_1=z)P(X_1=z\,|\,X_0=x) &=& P(X_2=y\,|\,X_1=z,X_0=x)P(X_1=z\,|\,X_0=x) \\ &=& \frac{P(X_2=y,X_1=z,X_0=x)}{P(X_1=z,X_0=x)}\cdot\frac{P(X_1=z,X_0=x)}{P(X_0=x)} \\ &=& \frac{P(X_2=y,X_1=z,X_0=x)}{P(X_0=x)} \\ &=& P(X_2=y,X_1=z|X_0=x). \end{eqnarray}$$

La tercera identidad da como resultado $$\begin{eqnarray} \sum_{z} P(X_2=y\,|\,X_1=z)P(X_1=z\,|\,X_0=x) &=& \sum_{z} P(X_2=y,X_1=z|X_0=x) \\ &=& P(X_2=y\,|\,X_0=x). \end{eqnarray}$$