Álgebra de Lie simple de 3 dimensiones

Question

1. Si $g$ es un álgebra de Lie, cómo demostrar que $Tr(ad \ a)=0$ para todos $a\in [g,g]$ ?

2. En caso de que $dim\ g=3$ y $[g,g]=g$ cómo demostrar que $g$ es simple?

Answer 1

1. $\text{ad}([X, Y]) = [\text{ad}(X), \text{ad}(Y)]$ por lo que a partir de aquí basta con demostrar que $\text{tr}([M, N]) = 0$ para cualquier matriz cuadrada $M$ y $N$ . Esto equivale a decir que $\text{tr}(MN) = \text{tr}(NM)$ que es un buen ejercicio. Se puede demostrar escribiendo todo explícitamente, pero también hay pruebas más bonitas.

2. Si $\mathfrak{g}$ no fuera simple, tendría algún cociente no trivial, que tendría dimensión $\le 2$ . A $2$ -tiene cocientes abelianos no triviales, por lo que en cualquier caso concluiríamos que $\mathfrak{g}$ tiene un $1$ -y, en particular, un cociente abeliano. Por lo tanto, $\mathfrak{g} \neq [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]$ . Ahora toma el contrapositivo.

Answer 2

1.) Tenemos $ad(L)=ad([L,L])=[ad(L),ad(L)]$ por lo que cada $ad(x)$ puede escribirse como una combinación lineal de elementos $[ad(y),ad(z)]$ que tienen traza cero. Por lo tanto, $tr(ad(x))=0$ para todos $x\in L$ .

2.) $L$ no puede resolverse debido a $[L,L]=L$ . Ahora supongamos que $I$ es un ideal no nulo, diferente de $L$ . Por lo tanto, $dim (I)=1$ o $dim(I)=2$ . En el primer caso, $I$ es solucionable y $L/I$ es de dimensión $2$ y, por tanto, solucionable. De ello se desprende que $L$ es solucionable, una contradicción. En el segundo caso, $I$ es solucionable y $L/I$ es $1$ -y, por lo tanto, también se puede resolver. De nuevo se deduce que $L$ es una extensión soluble de un álgebra de Lie soluble, por lo tanto soluble. Una contradicción. Se deduce que $L$ sólo tiene los ideales triviales.