¿Por qué es $\sup f_- (n) \inf f_+ (m) = \frac{5}{4} $ ?

Question

Esta pregunta es una antigua pregunta de mathstackexchange.

Dejemos que $f_- (n) = \Pi_{i=0}^n ( \sin(i) - \frac{5}{4}) $

Y que

$ f_+(m) = \Pi_{i=0}^m ( \sin(i) + \frac{5}{4} ) $

Parece que

$$\sup f_- (n) \inf f_+ (m) = \frac{5}{4} $$

¿Por qué?

Aviso

$$\int_0^{2 \pi} \ln(\sin(x) + \frac{5}{4}) dx = Re \int_0^{2 \pi} \ln (\sin(x) - \frac{5}{4}) dx = \int_0^{2 \pi} \ln (\cos(x) + \frac{5}{4}) dx = Re \int_0^{2 \pi} \ln(\cos(x) - \frac{5}{4}) dx = 0 $$

$$ \int_0^{2 \pi} \ln (\sin(x) - \frac{5}{4}) dx = \int_0^{2 \pi} \ln (\cos(x) - \frac{5}{4}) dx = 2 \pi^2 i $$

Eso explica los valores finitos de $\sup $ y $ \inf $ bueno, casi. Se puede demostrar que ambos son finitos. Pero eso no explica el valor de su producto.

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Actualización

Esto probablemente no sirva de nada, pero se puede demostrar (no es fácil) que existe un único par de funciones $g_-(x) , g_+(x) $ , tanto entero como con punto $2 \pi $ tal que

$$ g_-(n) = f_-(n) , g_+(m) = f_+(m) $$

Sin embargo no tengo ninguna forma cerrada para ninguno de esos ...

En cuanto a la prueba numérica obtuve alrededor de $ln(u) (2 \pi)^{-1}$ dígitos correctos , donde $u = m + n$ y la relación $m/n$ está cerca de $1$ .

Asumiendo que no hay errores de redondeo terminé con $1.2499999999(?) $ . Eso fue suficiente para convencerme.

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A menudo me acusan de "no tener contexto" o "no esforzarse", pero no tengo ni idea de cómo empezar aquí. Consideré la posibilidad de hacer un telescopio, pero fracasé y asumí que no estaba relacionado. Como tampoco tengo una forma cerrada para el producto estoy atascado.

Me molesta que la gente asuma que esto es una tarea. Está claro que no lo es, en mi opinión. ¿Qué clase de profesor o libro contiene esto?

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Ejemplo : Tomar $m = n = 8000 $ obtenemos

$$ max(f_-(1),f_-(2),...,f_-(8000)) = 1,308587092.. $$ $$ min(f_+(1),f_+(2),...,f_+(8000)) = 0,955226916.. $$

$$ 1.308587092.. X 0.955226916.. = 1.249997612208568.. $$

Apoyando la reclamación.

No estoy seguro de si $sup f_+ = 7,93.. $ o la media de $f_+ $ ( $ 3,57..$ ) se relacionan con lo anterior $1,308.. $ y $0,955..$ o la veracidad del valor reclamado $5/4$ .

En principio podríamos escribir los valores $1,308..$ y $0,955..$ como integrales complicadas. Utilizando las funciones del producto continuo $f_-(v),f_+(w)$ donde $v,w$ son reales positivos.

Esto es al notar $ \sum^t \sum_i a_i \exp(t \space i) = \sum_i a_i ( \exp((t+1)i) - 1)(\exp(i) - 1)^{-1} $ y observando las funciones $f_+,f_-$ son periódicos con $2 \pi$ .

A continuación, con la integración del contorno se puede encontrar el mínimo y el máximo en ese período $2 \pi$ para las funciones del producto continuo.

Entonces el producto de esas 2 integrales debería darnos $\frac{5}{4}$ .

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Quizá todo esto sea innecesariamente complicado y algunos teoremas sencillos de trigonometría o cálculo podrían explicar fácilmente el valor conjeturado $\frac{5}{4}$ .. pero no lo veo.

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-- Actualización Esta conjetura forma parte de un fenómeno más general.

Por ejemplo, la segunda conjetura :

Dejemos que $g(n) = \prod_{i=0}^n (\sin^2(i) + \frac{9}{16} ) $

$$ \sup g(n) \space \inf g(n) = \frac{9}{16} $$

Da la sensación de que esta segunda conjetura podría derivarse de algún modo de la primera, ya que

$$-(\cos(n) + \frac{5}{4})(\cos(n) - \frac{5}{4}) = - \cos^2(n) + \frac{25}{16} = \sin^2(n) + \frac{9}{16} $$

¿Y acaso la primera conjetura podría derivarse también de esta segunda?

Como se trata de preguntas adicionales y sólo puedo aceptar una respuesta, he iniciado un nuevo hilo con estas preguntas adicionales:

https://math.stackexchange.com/questions/3000441/why-is-inf-g-sup-g-frac916

Answer 1

(Este es un comentario extendido, no una respuesta verdadera. Proporciona una expresión de forma cerrada para $f_+(n)$ .)

Existe una función especial $S_2(\alpha; z)$ , llamado el función de doble seno que es meromorfo en $z \in \mathbb{C}$ y que satisface $$ S_2(\alpha; z + 1) = \frac{S_2(\alpha; z)}{2 \sin(\tfrac{\pi}{\alpha} z)} \qquad \text{and} \qquad S_2(\alpha; z + \alpha) = \frac{S_2(\alpha; z)}{2 \sin(\pi z)} \, . $$ Si ponemos $\alpha = 2 \pi$ y escribir simplemente $S_2(z) = S_2(2 \pi, z)$ obtenemos $$ S_2(z + 1) = \frac{S_2(z)}{2 \sin(\tfrac{z}{2})} \, . $$ Elija $b > 0$ tal que $\cosh b = \tfrac{5}{4}$ y escribir $\xi_\pm = \tfrac{\pi}{4} \pm b i$ . Entonces $$ \sin(z) + \tfrac{5}{4} = 2 \sin(\tfrac{z}{2} + \xi_+) \sin(\tfrac{z}{2} + \xi_-) . $$ De ello se desprende que $$ \frac{2^n S_2(\xi_+) S_2(\xi_-)}{S_2(n + 1 + \xi_+) S_2(n + 1 + \xi_-)} = \prod_{k = 0}^n 2 \sin(\tfrac{k}{2} + \xi_+) \sin(\tfrac{k}{2} + \xi_-) = \prod_{k = 0}^n (\sin k + \tfrac{5}{4}) $$ es su secuencia $f_+(n)$ .

Ahora bien, la función del doble seno es una función especial de la que no sé casi nada (la aprendí, al igual que muchas otras funciones especiales, de Alexey Kuznetsov), pero aparentemente se entiende bastante bien. Las referencias que obtuve de Alexey son:

• S. Koyama y N. Kurokawa, Múltiples funciones sinusoidales Forum Mathematicum 15 (2006), nº 6, 839-876;

• S. Koyama y N. Kurokawa, Valores de la función seno doble , J. Number Theory 123 (2007), nº 1, 204-223.

No los he comprobado para ver si contienen alguna información relevante para sus preguntas.