Parte I
¿Qué son los números reales? Para el matemático son el único campo ordenado completo de Dedekind; o la terminación métrica de los números racionales (que a su vez son una extensión de los enteros, que son una extensión de los números naturales; que a su vez son una extensión de $1$ y $0$ ).
¿Para los profanos? Bueno, es difícil explicárselo a los profanos sin mentirles o dejarles completamente a oscuras. Una vez le pidieron a Feynman que describiera la fuerza electromagnética, pero se negó a hacerlo porque cualquier analogía puede reducirse finalmente a la fuerza electromagnética, por lo que la analogía sería circular.
Una de las formas habituales de describir los números reales a los profanos en la materia sería decirles que son los números que pueden escribirse con un número finito de términos a la izquierda de los decimales, y un número infinito de términos a su derecha (posiblemente la mayoría de ellos son $0$ ).
Los números racionales son más fáciles de explicar, y no necesitamos mucho para ello. Son números que son el cociente de dos enteros. Sencillo, ¿verdad?
Resulta que los números reales se pueden dividir en dos partes, una parte que son los números racionales y otra parte que son los números irracionales, es decir, los números que son no racional. Y aunque es cierto que todo número irracional tiene una expansión decimal infinita, no es cierto que todo número con una expansión decimal infinita sea irracional. $0.9999\ldots$ es realmente una forma elegante de escribir $1$ y $\frac13$ no puede escribirse de otra forma que no sea $0.333\ldots$ en forma decimal.
Pero podemos considerar otra división de los números reales en dos partes. Podemos considerar los números que son lo suficientemente "simples", por ejemplo $\sqrt{2}$ o $\frac13(\sqrt[5]{42}+\sqrt{12})$ . Estos números se llaman números algebraicos, y son exactamente las raíces de polinomios cuyos coeficientes son enteros.
Los números que no son algebraicos se llaman trascendentales, y estos dos pueden dividirse en muchas familias. Pero no voy a entrar en eso ahora.
Parte II
Si queremos hablar de "superación" tenemos que tener una noción sólida de lo que significa que una colección supere a otra. Es evidente, $\{1,2,3\}$ supera a la colección $\{4,5\}$ . Uno tiene tres elementos y el otro sólo dos.
Formalmente, llamamos a esta noción cardinalidad . Es una de las muchas formas de medir el tamaño de una colección. Cómo se dice $\{4,5\}$ tiene una cardinalidad menor que $\{1,2,3\}$ ? Intentamos emparejar los elementos de los dos conjuntos, y vimos que, hiciéramos lo que hiciéramos, nunca podríamos conseguir todos los elementos de $\{1,2,3\}$ . Podemos igualar $4$ con $1$ y $5$ con $2$ pero luego $3$ no tiene pareja; o podemos emparejar $4$ con $3$ y $5$ con $1$ pero luego $2$ no tiene pareja.
No podemos coincidir con ambos $2$ y $3$ con $4$ porque el cotejo tiene que dar un valor único para cada punto.
Matemáticamente, decimos que existe una inyección del conjunto $\{4,5\}$ en el conjunto $\{1,2,3\}$ pero no hay una sobreproyección de $\{4,5\}$ a $\{1,2,3\}$ . Una inyección significa que coincidimos con $4$ y $5$ en elementos distintos, y una surjeción sería el caso de que consiguiéramos cubrir todo el conjunto que intentamos. Por ejemplo, podríamos coincidir desde la otra dirección, $1$ y $2$ se emparejan con $4$ y $3$ se empareja con $5$ .
Obsérvese que esta concordancia sigue dando un valor único para cada elemento en $\{1,2,3\}$ pero le dio a dos elementos la misma coincidencia. Eso está bien. Y puedes trabajar las opciones y ver que cualquier coincidencia entre estos dos conjuntos debe tener propiedades similares.
Decimos que un conjunto $A$ tiene la misma cardinalidad (o tamaño) que el conjunto $B$ si hay una coincidencia que es a la vez inyectiva y surjetiva; si sólo hay una coincidencia inyectiva, pero no hay coincidencias surjetivas, entonces $B$ es estrictamente mayor que $A$ .
Se deduce que un conjunto no puede tener una cardinalidad estrictamente menor que cualquiera de sus subconjuntos. Así, en particular, es imposible que haya más números trascendentales que números reales, ya que todo número trascendental es un número real.
Un hecho que puede sorprenderte es que los números racionales, las fracciones, tienen la misma cardinalidad que el conjunto de los enteros y que el conjunto de los números naturales. Pero los números reales tienen una cardinalidad estrictamente mayor que estos conjuntos.
Como hemos mencionado los números algebraicos, éstos también tienen el mismo tamaño que los enteros. Y de todos estos hechos se deduce que los números trascendentales son estrictamente mayores. De hecho, la cardinalidad de los números reales (trascendentales y algebraicos juntos) es la misma que la cardinalidad de los números trascendentales solos.
Parte III
Veamos lo que ofrece el sitio que ha enlazado
Y además, los decimales del número pi son eternos. Eso significa que si tratamos de expresar la relación entre el diámetro y la circunferencia de un círculo en números, necesitamos infinitos detalles para ser veraces. Pero el detalle infinito no existe, por lo que debemos ceder a la conclusión bastante chocante de que la relación antes mencionada no puede expresarse en números, ¡y que pi no es un número en absoluto!
Bueno, como para empezar no hay una definición formal de "número", no puedo discutir del todo eso. Pero ciertamente si queremos que los números reales sean un modelo de la noción de longitud, poder decir que la longitud de la circunferencia de un círculo de radio $\frac12$ es un número real sería de esperar. ¿Y cuál sería esta longitud? Sí, es cierto, $\pi$ .
Pero es cierto que el cociente no se puede expresar como la razón de dos enteros, pero no pasa nada. El cociente entre el lado de un cuadrado y su diagonal tampoco puede expresarse como cociente de dos enteros.
Lo mismo ocurre con ese otro famoso "número" e, y con todos los llamados números trascendentales (números que se eternizan después del punto; es decir, números que representan el detalle infinito). Y para colmo de males, los números trascendentales superan en número a los números reales con un factor infinito.
Como he escrito más arriba, esto no es una definición de lo que son los números trascendentales. Pero si consideramos, por un momento, que el autor estaba realmente hablando de racional números (que coincidirían con algunos de los otros errores), y en ese caso es cierto. Hay muchos más números trascendentales que racionales.
¿Pero qué significa "con un factor infinito"? No tengo ni idea. Porque puedes intentar demostrar que entre dos números enteros hay infinitos números racionales. Y sin embargo, los dos conjuntos tienen la misma cardinalidad. El mismo tamaño.
Epílogo
Y por último,
Puede parecer un poco paradójico, pero como las matemáticas no pueden liberar su precisión detallada, pierden la conexión con el mundo real en torno al nivel cuántico.
¿Qué?
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Si $A \subseteq B$, entonces la cardinalidad de $A$ es a lo sumo la cardinalidad de $B. Así que no.
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Esto es completamente falso, me temo. Sin embargo, los números trascendentales superan a las fracciones por un factor infinito (por así decirlo). Tal vez eso es lo que querían decir.
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También, considerando que el párrafo inmediatamente antes de la declaración citada termina con la línea "¡y que pi no es un número en absoluto!", creo que es seguro ignorar la página.
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Otra línea interesante de la página dice que: "La verdadera aleatoriedad no puede ser dividida por algo que no sea ella misma." ¡Hmm! Esta no es una página sobre matemáticas; se asemeja más a la astrología.