Prueba de que una función no nula $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ es continua si $ f(x + y) = f(x) f(y) $ y $ f $ es continua en un punto.

Question

Dejemos que $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ sea una función tal que $ f(x + y) = f(x) f(y) $ para todos $ x,y \in \mathbb{R} $ y $ f $ no es idénticamente cero. Demuestre que si existe un punto en el que $ f $ es continua, entonces $ f $ es continua en todo $ \mathbb{R} $ .

Puedo ver fácilmente por qué $ f(x) \neq 0 $ para todos $ x \in \mathbb{R} $ pero eso no parece ayudar. También intenté una prueba por contradicción, pero parece que no llegué a ninguna parte, así que cualquier ayuda es muy necesaria y sería inmensamente apreciada. Gracias.

Answer 1

La idea es que, si f es continua en a, se puede demostrar que es continua en 0, entonces en todo x :

En primer lugar, hay que señalar que f(0) = 1

Segundo, si a es continua en a, entonces

$$ \lim_{h\to 0} f(a+h) = f(a)$$

y

$$ \lim_{h\to 0} f(a+h) = f(a)\left( \lim_{h\to 0} f(h) \right)$$

Esto significa que

$$ \lim_{h\to 0} f(h) =1 = f(0)$$

Por tanto, f es continua en 0

Pero si f es continua en 0, toma $b \in \mathbb{R}$ y tienes

$$ \lim_{h\to 0} f(b+h) = f(b)\left( \lim_{h\to 0} f(h) \right) = f(b)f(0) = f(b)$$

y f es continua en b

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Una prueba con $\epsilon$ y sin utilizar el hecho de que $f(0)=1$

Dejemos que $\epsilon > 0$ . Como $f$ es continua en $a$ existe $\delta >0$ tal que para todo $h \in] -\delta, \delta[$ tenemos $|f(a+h)-f(a)|<\epsilon$ . Entonces

$$|f(b+h)-f(b)| = |f(a+h+(b-a))-f(b)| = |f(a+h)f(b-a) - f(b)| $$

Supongamos ahora que $f(a+h)\geq f(a)$ y $f(b-a) \geq 0$ (es lo mismo para los otros casos)

$$\leq |(f(a)+\epsilon)f(b-a) - f(b)| = |\epsilon f(b-a) + f(a)f(b-a) - f(b)| $$ $$= |\epsilon f(b-a) + f(b) - f(b)| = \epsilon |f(b-a)|$$

Y f es continua en b

Answer 2

Este es un caso especial de un teorema general que dice:

Dejemos que $ G $ y $ H $ sean grupos topológicos de Hausdorff y $ \phi: G \to H $ un homomorfismo de grupo. Si $ \phi $ es continua en algún punto, entonces es continua en todas partes.

La prueba es sencilla. Supongamos que $ \phi $ es continua en $ g \in G $ es decir, $ \displaystyle \lim_{x \to g} \phi(x) = \phi(g) $ y que $ a \in G $ sea otro punto. Entonces \begin {align} \lim_ {x \to a} \phi (x) & = \lim_ {x \to a} \phi (x) \phi (a^{-1} g g^{-1} a) \\ & = \lim_ {x \to a} \phi (x a^{-1} g) \phi (g^{-1} a) \\ & = \left [ \lim_ {x \to a} \phi (x a^{-1} g) \right ] \phi (g^{-1} a) \quad ( \text {Por la continuidad de la multiplicación de grupos en $ H $ .}) \\ & = \left [ \lim_ {y \to g} \phi (y) \right ] \phi (g^{-1} a) \quad ( \text {Por la continuidad de la multiplicación de grupos en $ G $ .}) \\ & = \phi (g) \phi (g^{-1} a) \qquad ( \text {Por la continuidad de $ \phi $ en $ g $ .}) \\ & = \phi (a). \end {align}

En nuestro caso, los grupos topológicos son (como $ f $ no es idéntico $ 0 $ ) $$ G = (\mathbb{R},+,0_{\mathbb{R}}) \quad \text{and} \quad H = (\mathbb{R}_{> 0},\times,1_{\mathbb{R}}), $$ y $ f $ es un homomorfismo de grupo de $ G $ a $ H $ . Como $ f $ se supone que es continua en un punto, debe ser continua en todas partes.