¿Los mapas entre espacios topológicos inducen de alguna manera los mapas entre espacios de Banach?

Question

Si $X,Y$ son espacios topológicos y $h:X\rightarrow Y$ es un mapa continuo, ¿existe algún tipo de mapa inducido \begin {align*} h':C_b(X) \rightarrow C_b(Y) \end {align*} (o en la otra dirección) donde $C_b(X)$ es el espacio de Banach de las funciones acotadas, continuas y de valor real sobre $X$ ?

Si $h:X\rightarrow Y$ es un mapa cociente, ¿existe un mapa inducido (cociente) entre los espacios de Banach asociados?

Answer 1

¿Y si se invierten las flechas? Se obtiene el "homfuntor contravariante" canónico (ya que $C_b(X) =Hom(X,\mathbb{R})$ en una categoría adecuada) para que $h:X \to Y$ induce $h':C_b(Y) \to C_b(X)$ con $h'(f):=f \circ h$ .

Answer 2

Existe un mapa inducido de este tipo. Sin embargo, es en la otra dirección.

Si $h:X\to Y$ es un mapa continuo entre espacios topológicos, entonces para cada $f\in C(Y)$ tenemos $f\circ h\in C(X)$ ya que las composiciones de mapas continuos son a su vez continuas. Esto induce un mapa \begin {Ecuación} f \in C(Y) \xrightarrow {h'}f \circ h \in C(X). \end {Ecuación}

Este es el punto de partida de tantas matemáticas maravillosas, como la topología diferencial, la geometría diferencial, la teoría espectral y la geometría no conmutativa. Siento ponerme sentimental, pero aún recuerdo la emoción y la alegría cuando leí por primera vez sobre Teorema de Gelfand-Naimark en mi primer año. Realmente, sólo estudiaron el mapa inducido de este mapa inducido.

Según mis someros conocimientos, esto muestra un vínculo entre la geometría de un conjunto y la geometría del espacio de funciones sobre el conjunto. Cuando sabemos mucho sobre el conjunto, podemos utilizar este vínculo para estudiar las funciones. Cuando conocemos más la teoría de las funciones, entonces esto arroja luz sobre las propiedades del conjunto subyacente.