Me gustaría verificar la identidad $$ \oint \vec F \cdot (\hat i dx + \hat j dy) + \oint \vec F \cdot (\hat i dx + \hat j dy) + \oint \vec F \cdot (\hat i dx + \hat j dy) = \oint \vec F \cdot (\hat i dx + \hat j dy + \hat k dz) $$ Si es incorrecta, ¿cuál sería la identidad correcta? El teorema de Green es un caso especial del teorema de Stokes. ¿Cómo llegamos al teorema de Stokes utilizando el teorema de Green?
Respuesta
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El tiempo y el espacio no permiten una respuesta completa, pero he aquí un esbozo de una forma de hacerlo.
En primer lugar, hay que tener en cuenta que el teorema de Green en el plano (aplicado a $f\partial g/\partial u$ y $f\partial g/\partial v$ ) conduce a $$\newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial#1}{\partial#2}} \iint\limits_D\Big(\pd fu\pd gv-\pd fv\pd gu\Big)\,du\,dv =\oint\limits_J f\,dg$$ donde $D$ es una región "suficientemente bonita" en el plano y $J$ es su curva límite.
A continuación, supongamos una superficie tridimensional $S$ está parametrizado por $\mathbf{r}\colon D\to\mathbb{R}^3$ y que $\mathbf{F}$ es un campo vectorial. Ahora puedes demostrar la identidad $$ (\operatorname{curl}\mathbf{F})\cdot \Big(\pd{\mathbf{r}}{u}\times\pd{\mathbf{r}}{v}\Big) =\pd{\mathbf{F}}{u}\cdot\pd{\mathbf{r}}{v} -\pd{\mathbf{F}}{v}\cdot\pd{\mathbf{r}}{u}$$ y descubrir que cada función componente de $\mathbf{F}$ en esta ecuación da lugar a un término de la forma del integrando de la izquierda en la primera ecuación. Es decir, se deja $f$ sea cada uno de los componentes de $\mathbf{F}\circ\mathbf{r}$ a su vez, con $g$ siendo el correspondiente comonente de $\mathbf{r}$ y sumar las tres ecuaciones resultantes. Ahora tienes el teorema de Stokes escrito usando la parametrización dada de $S$ .
"Se requiere algo de montaje".
