Hola, perdón estoy un poco perdido en mis deberes de teoría de números y mis apuntes no contienen nada sobre este tema. Agradecería una pista de cómo empezar esta pregunta. Gracias.
Sea p un primo, y sea q un factor primo de $2^p - 1$
Demostrar que $\operatorname{ord}_q(2)$ = p, y deducir que q $\equiv$ 1 (mod p).
Por lo tanto, demuestre, a mano, que $2^{13} - 1$ y $2^{17} - 1$ son ambos primos, y encontrar los factores primos de cada uno de $2^{23} - 1$ y $2^{29} - 1$ .
Te daré algunas pistas:
(a) Demostrar que $ord_{q}(2)=p$ , tienes que argumentar que $p$ es el más pequeño tal que $$q|(2^p-1)$$ lo que debería ser sencillo a partir de que q es un factor primo de $2^p−1$ .
(b) A partir del pequeño teorema de Fermat, ya que $q$ es un primo, $$q|2^{q-1}-1$$ y utilizar la parte(a).
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