Probabilidad de un conjunto de predicciones independientes

Question

Pregunta reformulada:

El equipo A y el equipo B se enfrentan en un evento deportivo en el que hay un ganador y un perdedor; el empate es imposible. Un hombre, que quiere ganar dinero apostando por el ganador, consulta a tres videntes omniscientes. Estos videntes ya conocen el resultado del partido, al ser omniscientes.

El primer vidente informa al hombre (con la verdad) que miente al azar el 20% de las veces cuando dice el resultado de un evento deportivo, diciendo la verdad el resto de las veces.

El segundo vidente dice (de verdad) que es igual que el primero, salvo que miente el 40% del tiempo.

El tercer vidente dice (de verdad) que es igual que el primer y el segundo vidente, excepto que miente el 70% del tiempo.

El primer vidente le dice al hombre que el equipo A ganará. El segundo vidente le dice al hombre que el equipo A perderá. El tercer vidente le dice al hombre que el equipo A ganará.

¿Cuál es la probabilidad de que el equipo A gane?

La decisión de cada vidente de mentir es independiente de las demás. Puedes imaginar que cada vidente tira un dado de diez caras para tomar su decisión de mentir o no.

Después de la respuesta a la pregunta anterior, tengo curiosidad por saber si alguien puede llegar a una fórmula general para cualquier número de videntes con cualquier probabilidad de mentir, con cualquier conjunto de predicciones.

Answer 1

No hay suficiente información para dar una probabilidad de que el equipo A gane. Puedes ver esto imaginando que sabes a priori que la probabilidad de que el equipo A gane es $0$ o $1$ -- entonces esto no cambiará si escuchas a los videntes. La información de los videntes sólo puede modificar tu a priori conocimiento, en la medida en que es incompleto, pero no puede darte una probabilidad de que el equipo A gane si no tienes ya alguna suposición sobre esa probabilidad.

Dicho esto, en el supuesto de que a priori los equipos tienen la misma probabilidad de ganar (un "prior plano"), es sencillo calcular la probabilidad condicional de que el equipo A gane dada la información de los videntes:

Para que el equipo A ganara, los videntes habrían tenido que tirar dados con probabilidades del 80%, 40% y 30%, respectivamente. Para que el equipo A perdiera, habrían tenido que tirar los dados con probabilidades del 20%, 60% y 70%, respectivamente. Por tanto, la probabilidad condicional de que el equipo A gane dada la información de los videntes es

$$\frac{0.8\cdot0.4\cdot0.3}{0.8\cdot0.4\cdot0.3 + 0.2\cdot0.6\cdot0.7}\approx 53\%\;.$$

Actualización en respuesta a la última frase añadida en la pregunta:

La generalización a cualquier número de videntes con cualquier probabilidad de mentir con cualquier conjunto de predicciones es sencilla: Dado $n$ vidente con probabilidad $p_i$ de la mentira y las predicciones $b_i\in\{0,1\}$ de que el equipo A gane, suponiendo de nuevo un 50/50 a priori, la probabilidad de que el equipo A gane es

$$\frac{\prod_i \left(b_i(1-p_i)+(1-b_i)p_i\right)}{\prod_i \left(b_i(1-p_i)+(1-b_i)p_i\right)+\prod_i \left(b_ip_i+(1-b_i)(1-p_i)\right)}\;.$$

Más información:

También se puede generalizar esto a un previo arbitrario teniendo en cuenta las probabilidades previas. Suponiendo que a priori la probabilidad de que el equipo A gane es $p$ la probabilidad condicional dada la información de los videntes es

$$\frac{p\prod_i \left(b_i(1-p_i)+(1-b_i)p_i\right)}{p\prod_i \left(b_i(1-p_i)+(1-b_i)p_i\right)+(1-p)\prod_i \left(b_ip_i+(1-b_i)(1-p_i)\right)}\;,$$

y se recupera el resultado anterior fijando $p=1/2$ . También puede obtener los dos casos en los que su a priori el conocimiento es completo y por lo tanto no es modificado por la nueva información de los videntes eligiendo $p=0$ o $p=1$ , en cuyo caso la probabilidad condicional también resulta como $0$ y $1$ respectivamente.