Restricción a un subgrupo normal

Question

Más de preparación para el examen.

Deje $A$ ser un subgrupo normal de un grupo finito $G$ $V$ una representación irreducible de $G$. Mostrar que cualquiera de las $\text{Res}_A^G V$ es isotypic (suma de copias de una representación irreducible de $A$) o $V$ es inducida a partir de algunos adecuada subgrupo de $G$.

Ahora, normalmente cuando me piden demostrar $P \vee Q$, veo una vía razonable para probar cualquiera de las $\neg P \Rightarrow Q$ o $\neg Q \Rightarrow P$, pero no veo cómo hacerlo aquí. Parece difícil de hacer uso de $\neg Q$ como una hipótesis, y no veo cómo se relacionan $\neg P$ como una hipótesis a $Q$ (principalmente porque no veo la manera de producir la necesaria subgrupo $H$). El material más probable que sean relevantes a esta pregunta es, supongo, Mackey, restricción o Mackey irreductibilidad, pero no acabo de ver cómo cualquiera de estos puede ser aplicada.

Answer 1

Alguien debería mencionar Clifford del teorema de aquí. También, como siempre que se trabaja con representaciones en más de un campo, el resultado se da en cualquier característica. Clifford del teorema dice que si $U$ es una irreductible submódulo de ${\rm Res}^{G}_{A}(V)$, entonces no es un conjunto $S$ de los elementos de $G$ tal que ${\rm Res}^{G}_{A}(V) = \oplus_{s \in S} Us.$ La prueba de ello es la nota que $Ug$ $A$- submódulo de ${\rm Res}^{G}_{A}(V)$ por cada $g \in G$, y claramente es irreducible. Ahora $\sum_{g \in G}Ug$ $G$- submódulo de $V$, por lo que deben ser todos los de $V$ $V$ es irreductible. Dado que esta es una suma de irreductible $A$-módulos, puede ser escrita como una suma directa de algunos de ellos. Ahora $\{ g \in G: Ug \cong U\}$ ($A$- module) es un subgrupo de $G$ contiene $A$, que es la inercia de los subgrupos de $U$, y que me va a denotar por $I$. Claramente $Ug \cong Uh$ $A$- módulo si y sólo si $gh^{-1} \in I$. Por lo tanto el número de los distintos tipos de isomorfismo de irreductible $A$-módulo que aparecen en la suma directa es $[G:I].$ También la inercia de los subgrupos de la irreductible $A$-módulo de $Ux$ $x^{-1}Ix$ por cada $x \in G$.

Deje $W$ ser una irreductible submódulo de ${\rm Res}^{G}_{I}(V)$ tal que ${\rm Res}^{I}_{A}(W)$ tiene un submódulo isomorfo a $U$. El argumento anterior, pero aplicado dentro de $I$, muestra que ${\rm Res}^{I}_{A}(W) \cong eU$ para algunos entero $e$ donde $eU$ denota la suma directa de $e$ copias de $U$. Ahora podemos aplicar Mackey del teorema de a ${\rm Res}^{G}_{A}({\rm Ind}_{I}^{G}(W)).$ Desde $Ux \not \cong U$ $A$- módulo al $x \not \in I$, podemos ver que ${\rm Res}^{G}_{A}({\rm Ind}_{I}^{G}(W)) \cong e(U_1 \oplus U_2 \ldots \oplus U_t)$ donde $t = [G:I]$. Pero ${\rm Res}^{G}_{A}(V)$ ya debe recoger $e(U_1 \oplus U_2 \oplus \ldots \oplus U_t)$, lo ${\rm dim}(V) \geq [G:I] {\rm dim}(W).$ sin Embargo, ${\rm Hom}_{H}(W,{\rm Res}^{G}_{I}(V)) \neq 0$, por lo que el ${\rm Hom}_{G}({\rm Ind}_{I}^{G}(W), V) \neq 0$. Así, el irreductible módulo de $V$ es un epimorphic imagen de ${\rm Ind}_{I}^{G}(W)$. Desde ya contamos ${\rm dim}(V) \geq {\rm dim}({\rm Ind}_{I}^{G}(W))$, podemos ver que $V \cong {\rm Ind}_{I}^{G}(W).$

Answer 2

Mirando las cosas desde un libro de texto que se siente como hacer trampa, pero...

Suponiendo que el campo base es agradable (alg. cerrado, char no es un factor de $|G|$), entonces no es un resultado en Jacobson Básicos de Álgebra II (Corolario 4 en la sección 5.11. - que conduce a Brauer del Teorema inducido caracteres) que indica que, si se limita a una representación irreducible $V$ $G$ a un subgrupo normal $H$, y elegir cualquier irreductible $H$-componente $M$$Res^G_H V$, y deje $T$ ser la inercia de grupo de $M$, $V=Ind_T^GN$ para algunos representación irreducible $N$ de %de $T$.

Por lo que sigue siendo para mostrar que la inercia de grupo $T$ es de $G$, si y sólo si la representación $Res^G_H V$ es isotypic. Dado que todos los giros $M^g$, $g\in G\setminus H$ aparecen en $V$ $H$- componentes, es claro que: isotypic $\Rightarrow$ $T=G$. La otra dirección se sigue del hecho de que la suma de la irreductible $H$-componentes de la forma $M^g$ $V$ es estable bajo la acción de la $G$, y por lo tanto todos los de $V$. La suposición $T=G$ significa que $M^g$ es isomorfo a $M$ $H$- módulo para todos los $g\in G$. Por lo tanto, $Res^G_H V$ es un isotypic $H$-módulo.

No sé, si esta respuesta es útil para usted en todo, en el sentido de que la carne estaba oculto en ese Corolario de Jacobson del libro. Parece ajustarse a la ley. Estás en lo correcto en que esta sección es todo acerca de Mackey del Teorema.

Ojalá pudiera decir algo más útil acerca de esto. Ha sido de unos 20 años desde que se me hizo realmente cualquier teoría de la representación :-(