Atacar la prueba de una declaración con la forma: $(\forall x \in X): ( P_1(x) \lor P_2(x) ) \rightarrow Q$

Question

Tengo una declaración de la forma $(\forall x \in X): ( P_1(x) \lor P_2(x) ) \rightarrow Q$ pero no estoy seguro de cómo abordar la prueba. Tengo la impresión de que se puede hacer algún tipo de análisis de casos, pero no veo cómo hacer uso de la $\forall x \in X$ parte de la declaración en este contexto. Si, en cambio, estuviera interesado en $( P_1 \lor P_2 ) \rightarrow Q$ En cuanto a la prueba, el planteamiento de la misma por medio de diferentes casos sería más claro para mí.

Lamentablemente, no tengo suficientes conocimientos de lógica ni de pruebas para saber qué dirección tomar. Estoy seguro de que esto es sencillo para alguien que tenga experiencia, así que ¿alguien puede orientarme?

Answer 1

Como se señala en el comentario de a.c.bruno, su fórmula $$(\forall x \in X): (P_1(x) \lor P_2(x)) \to Q)$$ es sólo una abreviatura de $$\forall x(x \in X \to ((P_1(x) \lor P_2(x)) \to Q))$$ que es lógicamente equivalente a $$\forall x((x \in X \land ((P_1(x) \lor P_2(x))) \to Q)$$

Así que lo que tienes que demostrar es en realidad una implicación doble universalmente cuantificada, que se puede reescribir como una única implicación en la que el antecedente es una conjunción de una restricción de pertenencia a un conjunto y una disyunción.
Pero pensándolo en términos de una implicación simple con una disyunción como antecedente y con la idea de fondo de que los elementos sobre los que se predica están restringidos a un conjunto particular ( $X$ ) es i.m.o. más fácil, y todo lo que necesitas para la prueba.

Para el cuantificador universal, ya que lo que se quiere demostrar es "para cualquier $x$ ", el procedimiento habitual es comenzar con "Let $x \in X$ sea arbitrario", realice la prueba para ese elemento ficticio que eligió, y finalmente afirme "Como $x$ fue elegida arbitrariamente, la proposición es válida para todos los $x \in X$ ".
Lo que tienes que probar para ese elemento ficticio es la implicación $(P_1(x) \lor P_2(x)) \to Q$ .
Para demostrar una implicación, hay dos formas de proceder (equivalentes, pero ligeramente diferentes desde el punto de vista del procedimiento):
Puede probar $A \to B$ ya sea por

1. mostrando que en todos los casos, ya sea $A$ es falso o $B$ es verdadero, o
2. suponiendo que $A$ y derivando $B$ de esta suposición.

En el caso de las declaraciones con "arbitrariedad $x$ ", normalmente 2. es la opción más natural, ya que no sabes nada de $x$ aparte del hecho de que proviene de $X$ (después de todo, usted quiere mantener su $x$ arbitrario). Así que lo que hay que demostrar es

"Asumir $P_1(x) \lor P_2(x)$ . Entonces $Q$ ."

Y ahora resulta evidente que, efectivamente, hay que realizar un análisis del caso:

"Dos casos:
- $P_1(x)$ ... Por lo tanto $Q$ .
- $P_2(x)$ ... Por lo tanto $Q$ ."

La parte "..." probablemente explotará el hecho de que $x \in X$ Así que sus dos casos son en realidad

1. $x \in X \land P_1(x)$
2. $x \in X \land P_2(x)$

(Esto se deduce de la distributividad de la disyunción sobre la conjunción: $x \in X \land (P_1(x) \lor P_2(x)) \equiv (x \in X \land P_1(x)) \lor (x \in X \land P_2(x))$ ).

A partir de este análisis del caso, la afirmación $(P_1(x) \lor P_2(x)) \to Q$ sigue inmediatamente.

El último paso consiste en demostrar que la prueba es válida para cualquier $x$ , ya que el maniquí $x$ que usaste en tu prueba fue elegido arbitrariamente. (Así que debes asegurarte de que en tu análisis del caso no impones ninguna suposición sobre $x$ que no sea un elemento de $X$ .)