Comportamiento no oscilante en el teorema ergódico subaditivo

Question

Actualmente estoy leyendo un artículo en el que el autor llega a ciertos extremos que podrían evitarse si el siguiente resultado fuera cierto:

Lema (propuesto) : Dejemos que $T$ sea una transformación ergódica que preserva la medida de un espacio de probabilidad $(X,\mathcal{F},\mu)$ y que $(f_n)$ sea una secuencia de funciones integrables de $X$ a $\mathbb{R}$ que satisfacen la relación de subaditividad $f_{n+m} \leq f_n \circ T^m + f_m$ por ejemplo, para todos los enteros $n,m \geq 1$ . Supongamos que $f_n(x) \to -\infty$ en el límite como $n \to \infty$ para $\mu$ -a.e. $x \in X$ . Entonces $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\int f_n d\mu <0$ .

A través del teorema ergódico subaditivo, esto establece efectivamente que si $f_n(x) \to -\infty$ en casi todas partes, entonces debe hacerlo a un ritmo asintóticamente lineal. El supuesto lema sería también equivalente a la afirmación de que si $\frac{1}{n} f_n(x) \to 0$ en casi todas partes, entonces para casi todas $x$ la secuencia $(f_n(x))$ debe volver infinitamente a algún barrio de $0$ que no es vecina de $-\infty$ . Si la secuencia $(f_n)$ es aditivo y no sólo subaditivo, entonces esta última formulación del resultado se desprende de un conocido teorema de G. Atkinson, pero el caso subaditivo más general es menos claro.

Si el lema fuera cierto, varias partes del documento que estoy leyendo serían redundantes, lo que me hace preguntarme si en realidad es falso. Sin embargo, parece bastante plausible. ¿Alguien sabe si este resultado es cierto o no?

Answer 1

Creo que el lema que propones es cierto, a través de una adaptación relativamente sencilla de la prueba dada para el caso aditivo en Giles Atkinson, Recurrencia de co-ciclos y paseos aleatorios J. Lond. Math. Soc. (2) 13 (1976), 486-488. (Supongo que este es el resultado al que te referías.) Puede que esto ya se sepa y esté escrito en algún sitio, no puedo hablar de ello. En caso de que no lo esté, aquí hay una prueba.

Prueba del lema . Por el teorema ergódico subaditivo, existe una función medible $f\colon X\to \mathbb{R}\cup\{-\infty\}$ tal que $\lim \frac 1n f_n(x) = f(x)$ para $\mu$ -a.e. $x\in X$ y $\lim \frac 1n \int f_n\,d\mu = \int f\,d\mu$ . Así que nuestra tarea es demostrar que $\int f\,d\mu < 0$ .

Para ello, teniendo en cuenta $x\in X$ , dejemos que $M_x = \{n \mid f_n(x) \geq -1 \}$ y observa que $M_x$ es finito $\mu$ -a.e. Así se escribe $A_n = \{x\in X \mid \# M_x < n \}$ vemos que existe $N$ tal que $\mu(A_N) > \frac 12$ .

Además, teniendo en cuenta $x\in X$ , escriba $L_x = \{ k \mid T^k(x) \in A_N \}$ . Desde $\mu(A_N) > \frac 12$ vemos que $\mu$ -a.e. $x$ tiene $$ (*)\qquad\qquad\qquad\# L_x \cap [1,n] \geq \frac n2\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad $$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ . Fijamos tal $x$ y demostrar que $f(x) < 0$ .

Dejemos que $k_0$ sea el elemento más pequeño de $L_x$ . Definimos $k_i\in L_x$ recursivamente con la propiedad de que $$ f_{k_i}(x) < f_{k_0}(x)-i, $$ de la siguiente manera. Sea $J_i$ sea el $N$ elementos más pequeños de $L_x \cap (k_i,\infty)$ . Porque $T^{k_i}(x)\in A_N$ existe $k_{i+1}\in J_i$ tal que $k_{i+1} - k_i \notin M_{T^{k_i}(x)}$ . En particular, tenemos $$ f_{k_{i+1} - k_i}(T^{k_i}(x)) < -1. $$ Ahora la subaditividad da $$ f_{k_{i+1}}(x) \leq f_{k_i}(x) + f_{k_{i+1} - k_i}(T^{k_i}(x)) < f_{k_0(x)} - i-1. $$ La siguiente observación es que al $(*)$ tenemos $k_i \leq 2Ni$ para todo lo que sea suficientemente grande $i$ . Por lo tanto, tenemos $$ \frac 1{k_i} f_{k_i}(x) \leq \frac 1{2Ni}(f_{k_0}(x) - i), $$ y enviando $i\to\infty$ obtenemos $f(x) \leq -\frac 1{2N}$ . Dado que esto es válido para $\mu$ -a.e. $x$ tenemos $\int f\,d\mu \leq -\frac 1{2N} < 0$ , lo que completa la prueba.

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Nota . Es muy importante en esta prueba que estamos tratando con valores negativos de $f_n$ la prueba fallaría si intentáramos demostrar que $f_n(x)\to+\infty$ para $\mu$ -a.e. $x$ implica que $\int f\,d\mu > 0$ . No estoy seguro de que el resultado sea cierto en este caso.