Distribución de la variable aleatoria que cuenta el número de puntos fijos de funciones sobre $n$ símbolos

Question

Dejemos que $A_n$ denota el conjunto de todas las funciones de $\{1,...,n\}$ para sí mismo y para $f\in A_n$ , dejemos que $X_n(f)$ denotan el número de puntos fijos de $f$ . Entonces, ¿es cierto que $P(X_n=k)={n \choose k}\big(\dfrac 1 n\big)^k \big(1- \dfrac 1 n\big)^{n-k} $ Es decir, ¿es cierto que $X_n $ sigue al Binomio $(n, \dfrac 1n)$ ?

NOTA: Estoy equipando $A_n$ con medida de recuento uniforme, es decir, para un subconjunto $S$ de $A_n$ la medida de $S$ es $|S|/n^n$ .

Answer 1

Sí, el número de puntos fijos de $f$ se distribuye como $\text{Bin}(n,1/n)$ . Desde $f$ se distribuye uniformemente sobre $A_n$ , sigue los valores $f(1),f(2),\dots,f(n)$ son independientes, por lo que el número de $f(k)$ que son iguales a $k$ seguirá una distribución binomial.