Ayúdame con este límite

Question

$$ \lim_{x\to0} {{xe^x \over e^x-1}-1 \over x}$$

Sé que debería ser igual a ${1 \over 2}$ porque cuando calculo con un número como $0.0001$ el límite $\approx {1 \over 2}$ pero no puedo probarlo.

Answer 1

Primero multiplica el numerador y el denominador por $e^x-1$ para reescribir la fracción como

$$\frac{xe^x - e^x + 1}{xe^x-x}$$

Solución 1:

Ahora aplicamos La regla de L'Hôpital dos veces para ver

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{xe^x - e^x + 1}{xe^x-x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{xe^x}{e^x+xe^x-1}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^x+xe^x}{2e^x+xe^x}=\frac{1}{2}$$

Solución 2: (sin la regla de L'Hôpital)

Recuerda que $e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ . Es decir, tenemos $e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+O(x^3)$ cerca de $0$ . Por lo tanto,

$$\frac{xe^x - e^x + 1}{xe^x-x}=\frac{(1+x+\frac{1}{2}x^2+O(x^3))(x-1)+1}{x(x+\frac{1}{2}x^2+O(x^3))}=\frac{\frac{1}{2}x^2+O(x^3)}{x^2+O(x^3)}=\frac{1+O(x)}{2+O(x)}\rightarrow\frac{1}{2}$$

como $x\rightarrow 0$ .

En caso de que no esté familiarizado con el $O$ -notación:

$O(x^n)$ es sólo un marcador de posición para alguna función $f$ tal que existe algún $C>0$ y $x_0>0$ tal que $|f(x)|\le C|x^n|$ para todos $x$ con $|x|\le x_0$ es decir $O(x^n)$ significa un crecimiento asintótico a lo sumo como $x^n$ cerca de $0$ .

Answer 2

Dividir la parte superior e inferior por $x$ para limpiar las cosas:

$$\dots={ {{e^x \over e^x-1}-\frac{1}{x} }}\normalsize=\frac{x\cdot e^x-e^x+1}{x\cdot(e^x-1)}$$

¿Puedes hacerlo ahora?

Answer 3

Ok, yo ahí, lo que haces es usar L'Hosptial varias veces:

Su límite es un límite del tipo $\frac{0}{0}$ . Utilizando los rendimientos de L'Hospital: $$\lim_{x\rightarrow 0}(\ldots) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\exp(2x)-\exp(x)-x\exp(x)}{(\exp(x)-1)^2}$$ A continuación, utilizando L'Hospital dos veces más (en cada caso seguirá teniendo límite del tipo $\frac{0}{0}$ ) se obtiene: $$\lim_{x\rightarrow 0}(\ldots) = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{4\exp{2x}-3\exp(x)-x\exp(x)}{2\exp{x}}$$ Y utilizando $\lim_{x\rightarrow 0} \exp(x) = 1$ entonces yiels el resultado de $\frac{1}{2}$ ¡que estabas buscando! Espero que te sirva de ayuda :).

Estoy leyendo arriba que por alguna razón no se puede usar L'Hospital. Alternativamente puedes usar la expansión de Taylor para la función exponencial: $$\exp(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots$$ Entonces, después de reordenar la expresión como lo hicieron los inteligentes de arriba: $$\frac{x\exp(x)-\exp(x)+1}{x\exp(x)-x} = \frac{x+x^2+\mathcal{O}(x^2) - 1 - x - 0.5\cdot x^2 \mathcal{O}(x^2) + 1}{x+x^2+\mathcal{O}(x^2)-x}$$ El reordenamiento da: $$\lim_{x\rightarrow 0} (\ldots) = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{x^2}{2}+\mathcal{O}(x^2)}{x^2+\mathcal{O}(x^2)} = \frac{1}{2}$$