Estoy interesado en saber si $\mathbb{C}[x,y]/\langle x^2+y^2\rangle$ es un campo, donde $\langle x^2+y^2\rangle$ denota el ideal generado por el polinomio $x^2+y^2\in\mathbb{C}[x,y]$ y $\mathbb{C}$ denota el campo de los números complejos.
Sé lo siguiente:
1) Para $R$ un anillo conmutativo y $I$ un ideal de $R$ , $R/I$ es un campo si y sólo si $I$ es máxima.
2) Para $R$ un dominio ideal principal, el ideal $I$ de $R$ es máxima si y sólo si $I$ es generado por un elemento irreducible.
Juntando todo esto, ya que $x^2+y^2$ no es irreducible en $\mathbb{C}[x,y]$ (como $x^2+y^2=(x-iy)(x+iy)$ ), se podría pensar que el ideal $\langle x^2+y^2\rangle$ no es máxima en $\mathbb{C}[x,y]$ por 2), y por tanto, por 1), $\mathbb{C}[x,y]/\langle x^2+y^2\rangle$ no es un campo.
Sin embargo, esto no se sostiene, porque $\mathbb{C}[x,y]$ no es un dominio ideal principal - de hecho, para cualquier anillo conmutativo $R$ con $1$ cualquier anillo polinómico en más de una variable sobre $R$ no es un P.I.D.
¿Hay alguna forma de afinar mi lógica? Sospecho que el anillo en cuestión no es un campo.
Gracias.
~Mo
