Demostrando que existe $a_i \in \{a_1,\dots,a_k\}$ así que para cualquier entero positivo $n$ $F(n)$ es divisible por $a_i$

Question

Determinado $F(x) \in \mathbb{Z}{[x]}$. Para todo entero positivo $n$ $F(n)$ es divisible por uno de prueba que así existe $a_1 , a_2 , \dots , a_k\in \mathbb{Z}$ $a_i \in \{a_1,\dots,a_k\}$ cómo que para cualquier entero positivo $n$ $F(n)$ es divisible por $a_i$

Answer 1

Supongamos que no $a_i$ divide $F(n)$ por cada $n$.

Para cada una de las $a_i$, no es una potencia de primer factor de $a_i$ que no divida a $F(n)$ por cada $n$. Esto forma un conjunto de primer poderes a partir de la cual podemos extraer los elementos mínimos con respecto a la divisibilidad: $p_1^{e_1},\dots,p_m^{e_m}$, $p_1,\dots,p_m$ distintos números primos. Llame a $q_j$ cualquier número tal que $p_j^{e_j} \nmid F(q_j)$.

Por el teorema del resto Chino, hay algunos $n_0$ tal que para cada a $j$: $$n_0\equiv q_j \pmod{p_j^{e_j}}$$

Por lo tanto: $$F(n_0)\equiv F(q_j)\pmod {p_j^{e_j}}$$ por tanto, por definición de $q_j$, $p_j^{e_j} \nmid F(n_0)$. Como consecuencia de ello no $a_i$ puede dividir $F(n_0)$: esto contradice la hipótesis.

Así que debe haber algo de $a_i$ que divide $F(n)$ por cada $n$.