$\varepsilon$ - $N$ pregunta sobre la prueba

Question

Utiliza la definición de límites para demostrar $$\lim_{n\to\infty} \frac{n^3-n^2+9}{n^3-3n} =1 $$

Hasta ahora tengo $$ \left| \frac{n^3-n^2+9}{n^3-3n} -1 \right| < \epsilon, $$ el lado izquierdo es el mismo que $$ \left| - \frac{n^2-3n-9}{n(n^2-3)} \right|$$ con lo cual podemos dejar de lado el valor absoluto y luego hacer el argumento de la desigualdad que $$ \frac{n^2-3n-9}{n(n^2-3)} < \frac{n^2}{n(n^2-3)} =\frac{n}{(n^2-3)}.$$ A partir de aquí estoy teniendo problemas para deshacerme del último $- 3$ para argumentar que $$\frac{1}{n} < \epsilon $$ lo que significa que $\frac{1}{\epsilon} < n$
¿Debo elegir un $\epsilon$ ? ¿Hay alguna forma alternativa de expresar algo que se me escapa? ¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Cuando eliminas el signo de módulo y el signo negativo debes asegurarte de que la expresión que queda es positiva. Por lo tanto, lo primero que tienes que hacer es asegurarte de que $$\frac{n^{2}-3n-9}{n^{3}-3n}>0$$ El denominador es claramente positivo si $n>3$ y el numerador es positivo si $n>6$ . Por lo tanto, para seguir adelante necesitamos trabajar con $n>6$ . A continuación puede ir un poco más allá utilizando $$\frac{n} {n^{2}-3}<\frac{n}{n^{2}-3n}=\frac{1}{n-3}$$ Además, puede ver que la expresión es menor que $2/n$ o puede trabajar con la expresión $1/(n-3)$ mismo. Según el enfoque que usted adopte, la respuesta es $N=\max(6,2/\epsilon)$ o $N=\max(6,3+(1/\epsilon))$ . Como estos problemas no tienen una respuesta única, no hay que preocuparse.

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No está claro por qué quiere que la desigualdad final sea $1/n<\epsilon $ . No es necesario que todos los problemas de límite lleven a esa desigualdad en particular. Pero, en general, hay que procurar tener una desigualdad de la forma $a/(bn) <\epsilon$ bajo alguna suposición como $n>k$ y la respuesta es entonces $N=\max(k, a/(b\epsilon))$ . En general, no hay que intentar resolver desigualdades y obtener expresiones complicadas en términos de $\epsilon$ (la mayoría de los libros de texto baratos también son culpables de esto).

Answer 2

Dado que usted elige $n$ grande de todos modos, puede suponer $n^2 - 3 > \frac{1}{2} n^2$ (es decir, usted elige $n>\sqrt 2$ o simplemente $n>2$ ). Entonces

$$\frac{n}{n^2 - 3}< \frac{n}{\frac 12 n^2} = \frac{2}{n}.$$

Ahora queremos $\frac 2n<\epsilon$ . Así que necesitamos $n >\frac {2}{\epsilon}$ .

Combinando las dos informaciones, se elige

$$N = \max\{2, \frac{2}{\epsilon}\}. $$