Demostración de la fórmula de la suma de funciones arcoseno $ \arcsin x + \arcsin y $

Question

Se sabe que lo siguiente es válido: $$ \arcsin x + \arcsin y =\begin{cases} \arcsin( x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}) \;\;;x^2+y^2 \le 1 \;\text{ or }\; x^2+y^2 > 1, xy< 0\\ \pi - \arcsin( x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}) \;\;;x^2+y^2 > 1, 0< x,y \le 1\\ -\pi - \arcsin( x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}) \;\;;x^2+y^2 > 1, -1< x,y \le 0 \end{cases} $$

Pero no he podido encontrar una prueba de lo anterior. Intenté probarlo yo mismo, pero fracasé. No tengo ni idea de cómo introducir $x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-y^2}$ de las condiciones como $x^2 + y^2 < 1$ . Por favor, comprenda que no tengo ningún problema en conseguir la parte 'crux' de la RHS : $ \arcsin( x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}) $ . Sólo tengo problemas para comprobar el alcance de ese 'crux' en las condiciones dadas.

Answer 1

Utilizando este , $\displaystyle-\frac\pi2\leq \arcsin z\le\frac\pi2 $ para $-1\le z\le1$

Así que, $\displaystyle-\pi\le\arcsin x+\arcsin y\le\pi$

Otra vez, $\displaystyle\arcsin x+\arcsin y= \begin{cases} \\-\pi- \arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})& \mbox{if } -\pi\le\arcsin x+\arcsin y<-\frac\pi2\\ \arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}) &\mbox{if } -\frac\pi2\le\arcsin x+\arcsin y\le\frac\pi2 \\ \pi- \arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})& \mbox{if }\frac\pi2<\arcsin x+\arcsin y\le\pi \end{cases} $

y como otras razones trigonométricas son $\ge0$ para los ángulos en $\left[0,\frac\pi2\right]$

Así que, $\displaystyle\arcsin z\begin{cases}\text{lies in } \left[0,\frac\pi2\right] &\mbox{if } z\ge0 \\ \text{lies in } \left[-\frac\pi2,0\right] & \mbox{if } z<0 \end{cases} $

Caso $(i):$ Obsérvese que si $\displaystyle x\cdot y<0\ \ \ \ (1)$ es decir, $x,y$ son de signo contrario, $\displaystyle -\frac\pi2\le\arcsin x+\arcsin y\le\frac\pi2$

Caso $(ii):$ Si $x>0,y>0$ $\displaystyle \arcsin x+\arcsin y$ será $\displaystyle \le\frac\pi2$ según $\displaystyle \arcsin x\le\frac\pi2-\arcsin y$

Pero como $\displaystyle\arcsin y+\arccos y=\frac\pi2,$ necesitamos $\displaystyle \arcsin x\le\arccos y$

De nuevo, como el valor principal de la relación del coseno inverso se encuentra en $\in[0,\pi],$ $\displaystyle\arccos y=\arcsin(+\sqrt{1-y^2})\implies \arcsin x\le\arcsin\sqrt{1-y^2}$

Ahora bien, como la relación sinusoidal aumenta en $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right],$ necesitamos $\displaystyle x\le\sqrt{1-y^2}\iff x^2\le1-y^2$ como $x,y>0$

$\displaystyle\implies x^2+y^2\le1 \ \ \ \ (2)$

Así que, $(1),(2)$ son la condición necesaria para $\displaystyle \arcsin x+\arcsin y\le\frac\pi2$

Caso $(iii):$

Ahora como $\displaystyle-\frac\pi2\arcsin(-u)\le\frac\pi2 \iff -\frac\pi2\arcsin(u)\le\frac\pi2$

$\arcsin(-u)=-\arcsin u$

Utilice este hecho para encontrar la condición similar cuando $x<0,y<0$ ajuste $x=-X,y=-Y$

Answer 2

Dejemos que $a=\sin^{-1}x,$ $b=\sin^{-1}y\implies\sin a=x,$ $\sin b=y$ y $a,b\in[-\pi/2,\pi/2]\implies a+b\in[-\pi,\pi]$ $$ \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\\=\sin\bigg[\sin^{-1}\Big(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\\ \implies a+b=\color{red}{\sin^{-1}x+\sin^{-1}y=n\pi+(-1)^n\sin^{-1}\Big(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\Big)} $$ Caso 1: $-\dfrac{\pi}{2}\leq\sin^{-1}x+\sin^{-1}y\leq\dfrac{\pi}{2}$ $$ \color{darkblue}{\sin^{-1}x+\sin^{-1}y=\sin^{-1}\Big(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\Big)} $$ $$ \cos(a+b)\geq0\implies \cos a\cos b-\sin a\sin b\geq0\implies \cos a\cos b\geq\sin a\sin b\\ \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\geq xy\implies\\ a)\ 1-x^2-y^2+x^2y^2-x^2y^2\geq0 \implies x^2+y^2\leq1\\ b)\ 1-x^2-y^2+x^2y^2-x^2y^2<0 \implies x^2+y^2>1, xy<0 $$ Caso 2 y 3: $\dfrac{\pi}{2}<\sin^{-1}x+\sin^{-1}y\leq\pi$ y $-\pi\leq\sin^{-1}x+\sin^{-1}y<-\dfrac{\pi}{2}$ $$ \cos(a+b)<0\implies x^2+y^2>1 $$

Caso 2-: $\dfrac{\pi}{2}<\sin^{-1}x+\sin^{-1}y\leq\pi$ $$ \sin^{-1}\Big(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\Big)=\pi-(\sin^{-1}x+\sin^{-1}y)\\ \implies \color{darkblue}{\sin^{-1}x+\sin^{-1}y=\pi-\sin^{-1}\Big(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\Big)} $$ $$ \dfrac{\pi}{2}<\sin^{-1}x+\sin^{-1}y\leq\pi \;\&\;-\dfrac{\pi}{2}\leq\sin^{-1}x,\;\sin^{-1}y\leq\dfrac{\pi}{2}\\ \implies 0<\sin^{-1}x,\sin^{-1}y\leq\dfrac{\pi}{2}\implies 0< x,y\leq1 $$ Caso 3: $-\pi\leq\sin^{-1}x+\sin^{-1}y<-\dfrac{\pi}{2}$

$$ \sin^{-1}\Big(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\Big)=-\pi-(\sin^{-1}x+\sin^{-1}y)\\ \implies \color{darkblue}{\sin^{-1}x+\sin^{-1}y=-\pi-\sin^{-1}\Big(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\Big)} $$ $$ -\pi\leq\sin^{-1}x+\sin^{-1}y<-\dfrac{\pi}{2} \;\&\;-\dfrac{\pi}{2}\leq\sin^{-1}x,\;\sin^{-1}y\leq\dfrac{\pi}{2}\\ \implies -\dfrac{\pi}{2}\leq\sin^{-1}x,\sin^{-1}y< 0\implies -1\leq x,y< 0 $$

Answer 3

Tome el seno de ambos lados, y utilice el fórmula de adición de ángulos y luego simplificarlo aún más utilizando el hecho de que $\cos\arcsin t=\sqrt{\cos^2\arcsin t}=\sqrt{1-\sin^2\arcsin t}=\sqrt{1-t^2}$ . A continuación, aplique el $\arcsin$ a ambos lados, y ya está.

Answer 4

Espero que el gráfico explique el dominio x,y ( |x|< 1, |y|< 1 ) y el rango.