¿Qué es la rotación en un colector riemanniano?

Question

He aprendido divergencia , gradiente y rotativo en el análisis vectorial de $\mathbb R^3$ . Sin embargo, cuando leo Geometría de Riemann Sólo hay definiciones sobre divergencia y gradiente . Así que tengo una idea para generalizar la concepción de Rotación .

En Do Carmo's libro Formas diferenciales y aplicaciones , rotativo se define como sigue: $$X\rightarrow\omega\rightarrow d\omega\rightarrow*(d\omega)$$ Dejemos que $\omega$ denota la forma única diferencial obtenida de $X$ por el isomorfismo canónico inducido por el producto interior $<,>$ y $d$ sea diferencial exterior , $*$ sea Operación estrella de Hodge .

Mis preguntas son:

(1) ¿Se puede generalizar esta definición para una Múltiple de Riemann?

Creo que sí. Pero, ¿sigue significando rotativo ?

(2) ¿Existe otra forma de definir el rotativo ?

Aunque existe una definición anterior, me sigue pareciendo compleja o extraña con referencia a la física, comparada con la de $\mathbb R^3$ .

Answer 1

Si entiendo bien, con la definición de Do Carmo $\operatorname{curl}(X) = *(d(X^\flat))$ es un $(n-2)$ -(donde $n$ es la dimensión del colector) 1 .

En su lugar, se podría definir como $$\operatorname{curl}(X) = (d (X^\flat))^\sharp$$ para que $X$ es un bivector (o un $2$ -tensor antisimétrico covariante). En un gráfico local $(x^1, \dots, x^n)$ Esto es 2 $$\operatorname{curl}(X) = \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \left( {\partial X^j \over \partial x^i} - {\partial X^i \over \partial x^j} \right)\, {\partial \over \partial x^i} \wedge {\partial \over \partial x^j}$$

En la dimensión $3$ se pueden identificar bivectores y vectores mediante el producto cruzado, por ejemplo, como en ${\partial \over \partial x} \wedge {\partial \over \partial y} = {\partial \over \partial z}$ . Así se recupera el rizo habitual.

Al final no creo que importe mucho cómo lo definas, siempre que sepas de qué estás hablando (la derivada exterior del dual riemanniano del campo vectorial, interpretado como algún campo tensorial).

"¿Sigue significando rotativo?" No estoy seguro de que la pregunta sea tan relevante. Lo importante es que tiene las propiedades que cabría esperar (como $\operatorname{curl}(\operatorname{grad} f) = 0$ ). En realidad, probablemente sea conceptualmente correcto decir que el rizo es un bivector en lugar de un vector.

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1 Tenga en cuenta que estoy utilizando el isomorfismos musicales notación.

2 ¡Espero! Esto debe ser revisado.

Answer 2

En la obra de O'Neill Geometría semi-riemanniana con aplicaciones a la relatividad hay otra definición (muy similar): si $(M,g)$ es una colmena pseudo-riemanniana y $X \in \mathfrak{X}(M)$ es un campo vectorial, entonces ${\rm curl}(X)$ es el $2$ -formar en $M$ cuyas coordenadas son $$\frac{\partial X^j}{\partial x^i} - \frac{\partial X^i}{\partial x^j},$$ en cualquier gráfico. Resulta que ${\rm curl}(X) = {\rm d}(X_\flat)$ , donde $\flat$ denota el isomorfismo musical $TM \to T^*M$ como siempre, y ${\rm d}$ denota la derivada exterior. La condición ${\rm d}^2 = 0$ se lee en este contexto como ${\rm curl}\circ {\rm grad} = 0$ y ${\rm div}\circ {\rm curl} = 0$ donde la divergencia se toma con respecto a cualquiera de los argumentos del tensor ${\rm curl}$ .