La serie converge puntualmente pero no uniformemente

Question

Considere $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{n(n+x^2)}$ en $[0,\infty)$ . Para mostrar la convergencia puntual, he utilizado $\frac{x^2}{n(n+x^2)}\leq\frac{x^2}{n^2}$ en $[0,\infty)\implies\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{n(n+x^2)}\leq\sum\frac{x^2}{n^2}=\frac{\pi^2 x^2}{6}$ .

Sin embargo, estoy un poco atascado en mostrar que no converge uniformemente. He pensado que como $f_n(x)=\frac{x^2}{n(n+x^2)}$ es continua en $[0,\infty)$ , si $f_n\to f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{n(n+x^2)}$ entonces $f$ es continua en $[0,\infty)$ . Para demostrar que esto no es así, he mirado $|f(0)-f(y)|=|y^2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+y^2)}|$ , pero estoy un poco atascado en la elección $\epsilon$ más pequeño.

Answer 1

Supongamos que la serie es uniformemente convergente en $[0,+\infty[$ . Entonces, si $S(x)$ es la suma de la serie, para cada $\varepsilon>0$ existe un $N$ , dependiendo sólo de $\varepsilon$ , tal que para $n\geq N$ y para todos $x\in I=[0,+\infty[$ tenemos: $$|\sum_{k=1}^{n} u_k(x)-S(x)|<\varepsilon$$

Elija $m>n\geq N$ . Tenemos entonces para todos $x\in I$ $$|\sum_{k=1}^{n} u_k(x)-S(x)+S(x)-\sum_{k=1}^{m} u_k(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m} u_k(x)|\leq 2\varepsilon$$ Ahora dejamos que $x\to +\infty$ y obtenemos que $\displaystyle \sum_{n+1}^{m}\frac{1}{k}\leq 2\varepsilon$ para todos $m>n\geq N$ . Como la serie armónica es divergente, esto es una contradicción.