Contradicción sobre una desigualdad

Question

El problema sobre el que tengo un problema es este-

Sean a, b, c números reales no negativos. Demostrar que $$ \sum_{cyc} {a^2-bc \over 2a^2+b^2+c^2} \ge 0 $$

Mientras se resuelve y después de alguna resolución, obtenemos $$ \sum_{cyc} {(a+b)^2 \over a^2+b^2+2c^2} \le 3 $$ Y por C-S, tenemos, $$ \sum_{cyc} {(a+b)^2 \over a^2+b^2+2c^2} \le \sum_{cyc} {2(a^2+b^2) \over a^2+b^2+2c^2} $$ Descansa para demostrar que $$ \sum_{cyc} {a^2+b^2 \over a^2+b^2+2c^2} \le {3 \over 2} $$ Mediante sustituciones cíclicas de $x$ para $b^2+c^2$ obtenemos, $$ \sum_{cyc} {a^2+b^2 \over a^2+b^2+2c^2} = \sum_{cyc} {(a^2+b^2) \over (c^2+a^2)+(b^2+c^2)} = \sum_{cyc} {z \over x+y} \le {3 \over 2} $$ Pero por el La desigualdad de Nesbitt , $$ \sum_{cyc} {z \over x+y} \ge {3 \over 2} !$$ ¿Puede alguien explicarme dónde está el error y la corrección?
Gracias.

Answer 1

Su primer paso no fue tan fuerte, lo que dio una desigualdad equivocada.

El SOS ayuda aquí:

Tenemos que demostrar que $$\sum_{cyc}\frac{(a-b)(a+c)-(c-a)(a+b)}{2a^2+b^2+c^2}\geq0$$ o $$\sum_{cyc}(a-b)\left(\frac{a+c}{2a^2+b^2+c^2}-\frac{b+c}{2b^2+a^2+c^2}\right)\geq0$$ o $$\sum_{cyc}(a-b)^2(c^2-(a+b)c+a^2-ab+b^2)(2c^2+a^2+b^2)\geq0,$$ lo cual es cierto porque $$c^2-(a+b)c+a^2-ab+b^2\geq c^2-(a+b)c+\frac{1}{4}(a+b)^2=\frac{1}{4}(2c-a-b)^2\geq0.$$

Answer 2

Otra solución.

Con su trabajo tenemos que demostrarlo: $$\sum_{cyc}\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2c^2}\leq3,$$ lo cual es cierto por C-S: $$\sum_{cyc}\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2c^2}\leq\sum_{cyc}\left(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\right)=\sum_{cyc}\left(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\right)=3.$$